Publicaciones Recientes http://www.matetam.com/publicaciones_recientes/images/stories/3xp.php es Secuencia de conjuntos no vacios (OMM 2021 P6) http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/secuencia-conjuntos-no-vacios-omm-2021-p6 <p>Determina todos los conjuntos no vacíos $C_1, C_2, C_3, \dots$, tales que cada uno de ellos tiene un número finito de elementos y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente propiedad: Para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$, la cantidad de enteros positivos en el conjunto $C_m$ más la cantidad de enteros positivos en $C_n$ es igual a la suma de los elementos en el conjunto $C_{m+n}$.</p> <p>Nota: Al denotar con $|C_k|$ la cantidad de elementos de $C_k$ y con $S_k$ la suma de los elementos de $C_k$, la condición del problema es que para $m$ , $n$ enteros positivos se cumple</p> $$|C_n|+|C_m| = S_{m+n}$$ http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/secuencia-conjuntos-no-vacios-omm-2021-p6#comments Combinatoria Avanzado XXXV OMM 2021 Sat, 18 Dec 2021 20:32:58 +0000 jesus 4027 at http://www.matetam.com Números digitales (OMM 2021 P5) http://www.matetam.com/problemas/numeros/numeros-digitales-omm-2021-p5 <p>Para cada entero $n>0$ con expansión decimal $\overline{a_1a_2 \dots a_k}$ definimos $s(n)$ como sigue:</p> <ul> <li>Si k es par, $s(n) = \overline{a_1a_2} + \overline{a_3a_4} + \dots +\overline{a_{k-1}a_k} $</li> <li>Si k es impar, $s(n) = a_1 + \overline{a_2a_3} + \overline{a_4a_5} + \dots +\overline{a_{k-1}a_k} $</li> </ul> <p>Por ejemplo, si $n=123$ entonces $s(n) = 1 + 23 = 24$ y si $n=2021$ entonces $s(n) = 20+21 = 41$.</p> <p>Decimos que este $n$ es <i>digital</i> si $n$ es múltiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera 198 enteros positivos consecutivos, todos ellos menores que 2000021, hay uno de ellos que es digital.</p> http://www.matetam.com/problemas/numeros/numeros-digitales-omm-2021-p5#comments Números Avanzado XXXV OMM 2021 Sat, 18 Dec 2021 05:35:34 +0000 jesus 4026 at http://www.matetam.com Triángulo con ángulo de 60º (OMM 2021 P4) http://www.matetam.com/problemas/geometria/triangulo-angulo-60-omm-2021-p4 <p>Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con $\angle BAC = 60 ^\circ$ y ortocentro $H$. Sea $\omega_b$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AB$ en $B$, y $\omega_c$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AC$ en $C$.</p> <ul> <li> Prueba que $\omega_b$ y $\omega_c$ solamente tienen a $H$ como punto común </li> <li> Prueba que la recta que pasa por $H$ y el ortocentro $O$ de $ABC$ es tangente común a $\omega_b$ y $\omega_c$</li> </ul> http://www.matetam.com/problemas/geometria/triangulo-angulo-60-omm-2021-p4#comments Geometría Intermedio XXXV OMM 2021 Fri, 17 Dec 2021 23:58:46 +0000 jesus 4025 at http://www.matetam.com La hormiga, el mago y la lava (OMM 2021 P3) http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/hormiga-mago-y-lava-omm-2021-p3 <p>Sean $m,n \geq 2$ dos enteros. En una cuadr&iacute;cula de $m \times n$, una hormiga empieza en cuadrito inferior izquierdo y quiere camina al cuadradito superior derecho. Cada paso que da la hormiga debe ser a un cuadrito adyacente, de acuerdo a las siguientes posibilidades $\uparrow$, $\rightarrow$ y $\nearrow$. Sin embargo, un malvado mago ha dejado caer lava desde arriba y ha destruido algunos cuadritos de forma tal que:</p><img src="http://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/u4images/Screenshot%20from%202021-11-21%2021-37-04.png" alt="" title="" width="174" height="150" class="teaserthumbnail"/><p><a href="http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/hormiga-mago-y-lava-omm-2021-p3" target="_blank">leer más</a></p> http://www.matetam.com/problemas/combinatoria/hormiga-mago-y-lava-omm-2021-p3#comments Combinatoria Avanzado XXXV OMM 2021 Mon, 22 Nov 2021 03:30:43 +0000 jesus 4023 at http://www.matetam.com Es punto medio si y sólo si el otro es punto medio (OMM 2021 P2) http://www.matetam.com/problemas/geometria/es-punto-medio-si-y-solo-si-otro-es-punto-medio-omm-2021-p2 <p>Sea $ABC$ un tri&aacute;ngulo tal que $\angle ACB &gt; 90^\circ$ y sea $D$ el punto de la recta $BC$ tal que $AD$ es perpendicular a $BC$. Considere $\Gamma$ la circunferencia de di&aacute;metro $BC$. Una recta que pasa por $D$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$ en $P$, corta al lado $AC$ en $M$ (quedando $M$ entre $A$ y $C$) y corta al lado $AB$ en $N$.</p> <p>Demuestra que $M$ es punto medio de $DP$ si, y s&oacute;lo si $N$ es punto medio de $AB$.</p> <p></p> <img src="http://www.matetam.com/sites/default/files/imagecache/teaser/u4images/Problema%202%20-%20OMM%202021%283%29.png" alt="" title="" width="249" height="150" class="teaserthumbnail"/> http://www.matetam.com/problemas/geometria/es-punto-medio-si-y-solo-si-otro-es-punto-medio-omm-2021-p2#comments Geometría Avanzado XXXV OMM 2021 Sun, 21 Nov 2021 05:17:04 +0000 jesus 4022 at http://www.matetam.com Misma área y lados en progresión arimética (OMM 2021 P1) http://www.matetam.com/problemas/algebra/misma-area-y-lados-progresion-arimetica-omm-2021-p1 Los números positivos y distintos $a_1, a_2, a_3$ son términos en una progresión aritmética, y de la misma manera los números positivos y distintos $b_1, b_2, b_3$ son términos de una progresión aritmética. ¿Es posible usar tres segmentos de longitudes $a_1, a_2, a_3$ como bases y otros tres segmentos con longitudes $b_1, b_2, b_3$ como alturas (en algún orden), para construir rectángulos de la misma área? http://www.matetam.com/problemas/algebra/misma-area-y-lados-progresion-arimetica-omm-2021-p1#comments Álgebra Intermedio XXXV OMM 2021 Fri, 12 Nov 2021 08:06:09 +0000 German Puga 4021 at http://www.matetam.com Primer Examen de las Olimpiadas de Matemáticas en Tamaulipas 2021 http://www.matetam.com/noticias/2021/05/primer-examen-olimpiadas-matematicas-tamaulipas-2021 <p>Con mucho gusto damos inicio al Primer Examen de las Olimpiadas de Matemáticas en Tamaulipas. Podrás presentarlo a partir de ahora y hasta el lunes 17 de mayo a las 10 pm. En el siguiente formulario encontrarás el formulario de registro, seguido inmediatamente por el examen correspondiente a tu nivel.</p> <p>Es importante que inicies el registro hasta que tengas tiempo suficiente para realizar el examen, pues solo es posible enviar el formulario una vez por cuenta. Para el registro necesitarás tu acta de nacimiento y una credencial de tu escuela o constancia de estudios en formato digital. En caso de que no tengas credencial actual, puedes usar una del ciclo anterior y en caso de no tener anteriores, ingresa cualquier identificación que tengas (puede ser CURP).</p><p><a href="http://www.matetam.com/noticias/2021/05/primer-examen-olimpiadas-matematicas-tamaulipas-2021" target="_blank">leer más</a></p> http://www.matetam.com/noticias/2021/05/primer-examen-olimpiadas-matematicas-tamaulipas-2021#comments OMM 2021 OMMEB 2021 ONMAPS 2021 Sat, 15 May 2021 14:09:55 +0000 Orlandocho 4019 at http://www.matetam.com Procesos de Olimpiadas de Matemáticas 2021 http://www.matetam.com/noticias/2021/05/procesos-olimpiadas-matematicas-2021 <p>Con mucha emoción damos inicio a los procesos de las Olimpiadas de Matemáticas en Tamaulipas. En esta ocasión, el Primer Examen será el inicio de 4 concursos: la Olimpiada de Mayo, la Olimpiada Mexicana de Matemáticas de Educación Básica (OMMEB), la Olimpiada Nacional de Matemáticas para Alumnos de Primaria y Secundaria (ONMAPS) y la Olimpiada Mexicana de Matemáticas (OMM). </p> <p>De acuerdo a tu grado escolar y edad, podrías ser seleccionado para los distintos concursos y preselecciones. </p><p><a href="http://www.matetam.com/noticias/2021/05/procesos-olimpiadas-matematicas-2021" target="_blank">leer más</a></p> http://www.matetam.com/noticias/2021/05/procesos-olimpiadas-matematicas-2021#comments Olimpiadas de Matemáticas 2021 Sun, 09 May 2021 19:47:01 +0000 Orlandocho 4018 at http://www.matetam.com Proceso de la 34 Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas. http://www.matetam.com/noticias/2020/09/proceso-34-olimpiada-mexicana-matematicas-tamaulipas <p>Este a&ntilde;o, debido a la situaci&oacute;n sanitaria en la que nos encontramos, todo el proceso de la Olimpiada Mexicana de Matem&aacute;ticas, se llevar&aacute; a cabo de manera virtual.</p> <p>Aqu&iacute; est&aacute; el formulario para registro de participaci&oacute;n en la OMM-Tamaulipas 2020. Al finalizar se les enviar&aacute; al correo registrando la confirmaci&oacute;n y la liga del examen.</p> <p>Te recomendamos leer el manual que aqu&iacute; se adjunta.</p><p><a href="http://www.matetam.com/noticias/2020/09/proceso-34-olimpiada-mexicana-matematicas-tamaulipas" target="_blank">leer más</a></p> http://www.matetam.com/noticias/2020/09/proceso-34-olimpiada-mexicana-matematicas-tamaulipas#comments 34 OMM Fri, 25 Sep 2020 17:34:39 +0000 Orlandocho 3991 at http://www.matetam.com Problema 1 - IMO 2019 - Determinar todas las función enteras. http://www.matetam.com/problemas/algebra/problema-1-imo-2019-determinar-todas-funcion-enteras <p>Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los n&uacute;meros enteros. Determinar todas las funciones $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, $$f(2a) + 2f(b) = f (f (a + b)).$$</p> <fieldset class="fieldgroup group-sugerencia"><legend>Sugerencia</legend><div class="field field-type-userreference field-field-sugerencia-autor"> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div class="field-label-inline-first"> Por:&nbsp;</div> jesus </div> </div> </div> <div class="field field-type-text field-field-sugerencia"> <div class="field-label">Sugerencia:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <p>Observe primero que la &uacute;nica funci&oacute;n de la forma $f(x) = mx+n$ que satisface la relaci&oacute;n es cuando $m=2$ o bien $m=n=0$. </p> <p>Observa entonces que la funci&oacute;n $f(x) = 2x + n$ es soluci&oacute;n del sistema para todo valor de $n$ por lo que $f(0)=n$ podr&iacute;a no ser cero.</p> <p> Segundo, haga sustituciones del tipo $a=x$ y $b=0$, al igual que $a=0$ y $b=x$ para obtener nuevas identidades y comb&iacute;nelas.</p><p></p> Tercero, demuestra que la funci&oacute;n $g(x) = f(f(x)) - 3f(0)$ satisface la relaci&oacute;n: $$g(a+b)= g(a) + g(b)$$ </div> </div> </div> </fieldset> <fieldset class="fieldgroup group-sol-sep"><legend>Solución</legend><div class="field field-type-userreference field-field-sol-autor"> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div class="field-label-inline-first"> Por:&nbsp;</div> jesus </div> </div> </div> <div class="field field-type-date field-field-sol-fecha"> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> <div class="field-label-inline-first"> Fecha:&nbsp;</div> <span class="date-display-single">19 Jun 2020</span> </div> </div> </div> <div class="field field-type-text field-field-sol"> <div class="field-label">Solución:&nbsp;</div> <div class="field-items"> <div class="field-item odd"> Observe primero que la única función de la forma $f(x) = mx+n$ que satisface la relación es cuando $m=2$ o bien $m=n=0$. Segundo, sustituyendo para $a=x$ y $b=0$, al igual que $a=0$ y $b=x$ se obtienen las siguientes identidades: \begin{eqnarray}\label{eqn:second} f(f(x)) &=& 2f(x) + f(0) \\ f(f(x)) &=& f(2x) + 2f(0) \end{eqnarray} De dónde se sigue (al igualar ambas expresiones) que: $$f(2x) = 2f(x) - f(0)$$ Ahora bien, aplicando la igualdad anterior para el caso $x=a$ y sustituyendo en la expresión original se obtiene que: \begin{equation} f (f(a+b)) = 2f(a) + 2f(b) -f(0) \label{eqn:first} \end{equation} Aplicamos esto nuevamente en $f(f(a)) = 2f(a) + f(0)$ y $f(f(b)) = 2f(b)+f(0)$. Finalmente, combiando estas últimas tres identidades obtenemos que: $$f(f(a+b)) = f(f(a)) + f(f(b)) - 3f(0)$$ De dónde se sigue que la función $g(x) = f(f(x)) -3f(0)$ separa sumas, es decir, $$g(a+b) = g(a) + g(b)$$ Al ser una función de los enteros en los enteros que separa suma, se puede probar de manera estándard que $g$ es lineal. Es decir, $g(x) = Kx$ para algún número entero $K$. De dónde se sigue que $f(f(x)) = Kx + 3f(0)$ Sustituyendo en la expresión \eqref{eqn:first} obtenemos que: $$K(a+b) + 3f(0) = 2f(a)+2(b) -f(0)$$ De dónde se observa que $K(a+b)$ es par para todo valor de $a$ y $b$, por lo tanto $K$ debe ser par. Entonces escribimos $K = 2L$. Al sustituir y dividir entre dos se obtiene: $$L(a+b) + 2f(0)= f(a)+f(b)$$ Para todo $a$ y $b$ en $\mathbb{Z}$. En particular, para $a=x$ y $b=0$ se sigue que: $f(x) = Lx +f(0)$ En consecuencia $f(f(x)) = f(Lx+f(0)) = L(Lx +f(0)) +f(0) = L^2x + Lf(0) + f(0)$. Ahora bien, de \eqref{eqn:second} se sigue que: $$L^2x + Lf(0) + f(0) = 2Lx + 3f(0)$$ Entonces $(L^2- 2L)x + (L -2)f(0) = 0$ para todo valor de $x$. Esta última ecuación se puede factorizar como $(L-2)(Lx + f(0)) = 0$ para todo valor de $x$. Lo cuál sólo será posible si $L =2$ o bien $Lx + f(0) = 0$. Es decir, si $f(x) = 2x + c$ o bien $f(x) = 0$. </div> </div> </div> </fieldset> http://www.matetam.com/problemas/algebra/problema-1-imo-2019-determinar-todas-funcion-enteras#comments Álgebra Avanzado IMO 2019 Fri, 19 Jun 2020 23:41:06 +0000 jesus 3985 at http://www.matetam.com