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Problema

Problema clásico con solución atípica

Enviado por German Puga el 13 de Diciembre de 2016 - 17:52.

En una cuadrícula de $ n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del 1 al n, en el segundo los números del n+1 al 2n, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen esos dos cuadraditos. Por ejemplo, aquí abajo se muestran dos operaciones sucesivas permitidas en una cuadrícula de 4x4: primero restando 7 a los cuadraditos sombreados y luego sumando 5 a los sombreados.

Problema

Múltiplo de 7 con dígitos consecutivos

Enviado por German Puga el 13 de Diciembre de 2016 - 17:29.

Decimos que un número entero no-negativo $n$ contiene a otro número entero no-negativo $m$, si los dígitos de su expansión (o desarrollo) decimal aparecen en forma consecutiva en la expansión (o desarrollo) decimal de $n$.  Por ejemplo 2016 contiene a 2,0,1,6, 20, 16, 201 y 2016. Determina el mayor número entero $n$ que no contiene a ningún múltiplo de 7. 

Problema

Desigualdades con parte entera

Enviado por German Puga el 11 de Diciembre de 2016 - 22:22.

Encuentra el menor número real $x$ que cumpla todas las siguientes desigualdades: 

$$ \lfloor x \rfloor < \lfloor x^2 \rfloor <  \lfloor x^3 \rfloor < \dots < \lfloor x^n \rfloor < \lfloor x^{n+1} \rfloor < \dots $$

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual a $x$, es decir, es el único número entero que cumple que $ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$. 

Problema

Parejas Guerreras

Enviado por German Puga el 11 de Diciembre de 2016 - 21:57.

Una pareja de enteros positivos $m,n$ es guerrera si existen enteros positivos $a,b,c,d$ con $m=ab, n=cd$ y $a+b=c+d$. Por ejemplo, la pareja 8,9 es guerrera pues $8 = 4 \cdot 2 , 9=3 \cdot 3$ y $4+2=3+3$. Se colorean los enteros positivos de la siguiente manera: 

  • Empezamos coloreando el 3 y el 5.
  • Después , si algún entero positivo no está coloreado y este tiene una pareja guerrera que ya está coloreado, entonces lo coloreamos. 

Encuentra todos los enteros positivos que eventualmente se colorean.

Problema

Circunferencias con relación de radios

Enviado por German Puga el 11 de Diciembre de 2016 - 21:49.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $S$ tales que el radio de $\mathcal{C}_2$ es el triple del radio de $\mathcal{C}_1$. Sea $l$ una recta que es tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$ y tangente a $\mathcal{C}_2$ en $Q$, con $P$ y $Q$ distintos de $S$. Sea $T$ el punto en $\mathcal{C}_2$ tal que $TQ$ es diámetro de $\mathcal{C}_2$ y sea $R$ la intersección de la bisectriz de $\angle SQT$ con el segmento $ST$. Demuestra que $QR = RT$

Noticia

Tamaulipas en la 30 OMM.

Enviado por Orlandocho el 11 de Noviembre de 2016 - 23:53.
Esta semana, del 6 al 11 de noviembre en Acapulco, Guerrero, fue la 30 Olimpiada Mexicana de Matemáticas. En ella, cada uno de los estados participa con 6 alumnos, para llegar ahí, nuestros 6 alumnos tuvieron que pasar un proceso muy extenso de exámenes, entrenamientos y trabajo que iniciaron alrededor de 1300 alumnos de todo el Estado.
Problema

Números norteños

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 14:24.

Un entero positivo $N$ es norteño si para cada dígito $d >0$, existe un divisor de $N$ cuyo último dígito es $d$. ¿Cuántos números norteños menores que 2016 hay que tengan la menor cantidad posible de divisores?

Problema

Tercia de reales

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 14:19.

Encuentra todas las ternas de reales $(a,b,c)$ tales que $$ a- \frac{1}{b} = b - \frac{1}{c} = c - \frac{1}{a}$$

Problema

Punto exterior a un cuadrado

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 14:11.

Sea $ABCD$ un cuadrado. P un punto sobre la semicircunferencia de diámetro AB exterior al cuadrado. Sean M y N las intersecciones de PD y PC con AB, respectivamente. Demuestra que $MN^2 = AM \cdot BN$

Noticia

Selección Tamaulipas 2016

Enviado por Orlandocho el 3 de Octubre de 2016 - 20:43.
El día de ayer, domingo 2 de octubre de 2016 se llevó a cabo el examen selectivo final, que acumulado con la puntuación del Concurso Regional del Noreste, determinan a la selección Tamaulipas 2016 para el Concurso Nacional que será del 6 al 11 de Noviembre en Acapulco, Guerrero.
 
Fue una gran competencia, en la que cada uno de los 33 participantes que formaron parte de la Preselección Tamaulipas 2016 imprimieron su esfuerzo y lograron que todos mejoraran. Hoy la delegación está conformada y sabemos que los 6 alumnos representarán de la mejor manera a nuestro estado, como lo han hecho hasta el momento.
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