Cuadrados perfectos

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Cuadrados perfectos

Un cuadrado perfecto, en la terminología de la teoría de números, es un número que puede ser expresado como el cuadrado de otro. A continuación vamos a enunciar y a demostrar algunos teoremas acerca de los cuadrados perfectos.

Teoremas básicos

 

Teorema -1

Teorema. Si$ k $ es un cuadrado perfecto, los exponentes en su factorización prima son todos pares.

Demostración:

Sea $ k =( p^a)(q^b)…$ la descomposición canónica de $ k $. Como $ k $ es el cuadrado de algún entero, entonces $ k = m^2 = (p^a)(q^b)… = [p^{a/2}q^{b/2}…]^2$, y se puede ver que los exponentes $a, b,…$ son pares (si no lo fueran, entonces no sería posible poner a $ k $ de esta forma y no sería cuadrado perfecto).

Teorema 0

Teorema. Sea $ k $ un cuadrado perfecto. Si $ k $ es divisible entre un primo $ p $ entonces $ k $ es divisible entre $ p^2 $.

Demostración:

Bajo la hipótesis de que$ k $ es cuadrado perfecto, todos los exponentes en su factorización prima son pares. Así que si el primo $ p $ divide a $ k $ entonces aparece en la factorización prima de $ k $ y aparece con exponente par, digamos con exponente $2a$. Pero eso es lo mismo que tener $p^2$ elevado a la $ a $. En resumen, $p^2$ divide a $ k $.

Corolario:

Si la fracción $\frac{a}{b}$ es irreducible (i.e., $a, b$ coprimos) entonces $(\frac{a}{b})^2$ es también irreducible.

Demostración:

Claramente $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$. Supongamos que $a^2$ y $b^2$ tienen el factor común $ p $. Entonces, por el teorema, tienen el factor común $p^2$. Así que $a^2 = m^2p^2$ y $b^2 = n^2p^2$. Entonces $\frac{a^2}{b^2} = \frac{m^2}{n^2}$ y se logra ver que $\frac{a}{b} = \frac{m}{n} = \frac{mp}{np}$. Es decir, $\frac{a}{b}$ no es irreducible.

Regla de uso: si uno eleva al cuadrado una fracción que está en forma irreducible, lo que se obtiene es otra fracción que también es irreducible. (O bien: si cancelas antes ya no cancelas después.)

Regla de uso 2: si un número racional $\frac{a}{b}$ no es un entero, entonces su cuadrado tampoco es entero.

Instancia de uso en concurso: Cuadrado perfecto y Factorial

Teorema 1

Teorema. Si $N>1$ no es un cuadrado perfecto, entonces su raíz cuadrada es irracional –es decir, no puede ser expresada como el cociente de dos enteros.

Demostración:

Supongamos que la raíz cuadrada de $ N $ es $a/b$ con $a, b$ enteros y primos relativos (en $a/b$ no hay forma de cancelar). Entonces, elevando al cuadrado en $\sqrt{N}=a/b$ se obtiene $Nb^2=a^2$.

Pero entonces $ N $ aparece en la factorización prima de $a^2$ y aparece con exponente par (si $ N $ no es primo, el argumento se aplica a cada uno de sus factores primos). Para facilitar la argumentación supongamos que aparece como $N^2$ 1): $Nb^2 = AN^2$. Y hemos llegado a una contradicción: una $ N $ se cancela ¿y la otra? Es decir, hemos llegado a que $ N $ es un divisor común de $ a $ y $ b $, contrario a la hipótesis de que eran primos relativos. Esta contradicción nos lleva a la conclusión de que no es posible suponer a un tiempo no cuadrado perfecto y raíz racional; pero $ N $ no es cuadrado perfecto, luego su raíz es irracional.

Demostración alternativa:

Después de elevar al cuadrado $a/b = \sqrt{N}$ se obtiene $Nb^2=a^2$. Pero como $N>1$, entonces $b^2<Nb^2=a^2$. Es decir, el cuadrado de $ b $ es menor que el cuadrado de $ a $. Luego $b<a$.

Ahora bien, en la división entera de $ a $ entre $ b $ se debe obtener $a/b = q + r/a$ con $0 \leq r < b $ y $q>1$. Es decir, $a=qb+r$.

Si $ r $ fuese 0 entonces $a/b = q$. Y, como $a/b=\sqrt{N}$, entonces $ N $ sería un cuadrado perfecto, contrario a la hipótesis. (Esto nos aporta, de paso, otro teorema: si la raíz cuadrada de un número es exacta entonces es cuadrado perfecto.) Por tanto,$ r $ no puede ser 0. Es decir, podemos asegurar $0<r=a-qb<b$. Vamos a demostrar que $\sqrt{N}$ se puede expresar como fracción con un denominador más pequeño que $ b $, es decir, con denominador $a-qb$. Para ello sumemos $ra$ en ambos lados de $Nb^2=a^2$. Queda:

  • $Nb^2 + ra = a^2 + ra$
  • $Nb^2 + a^2 - qab = a^2 + a^2 – qab$
  • $Nb^2 – qab = a^2 – qab$
  • $b(Nb-qa) = a(a-qb)$
  • $(Nb-qa)/(a-qb) = a/b = \sqrt{N}$
  • $(Nb-qa)/r = a/b = \sqrt{N}$

Pero esto es una contradicción, pues habíamos quedado en que $a/b$ era irreducible. Esta contradicción nos lleva a concluir que $ \sqrt{N} $ no puede ser racional. Luego, es irracional.

(Una tercera forma de convencerse de la validez del teorema es preguntarse ¿cómo puede el producto de dos fracciones $(a/b)(a/b)$ ser un entero $ N $?)

Corolario:

Si $ \sqrt{N} $ es un número racional, entonces $ N $ es cuadrado perfecto.

Nota: la forma más fácil de demostrar el teorema 1 es mediante factorización prima. Véase: si $ N $ no es cuadrado perfecto entonces, en la factorización prima de $ N $, alguno de los factores lleva exponente impar; digamos que sea $p^{2k+1}$. Pero entonces, como $Nb^2 = a^2$, y $ p $ es factor de $ N $ entonces $ p $ es factor de $a^2$. Pero como $ p $ es primo, aparece como factor de $a^2$ un número par de veces. ¡Contradicción! (Porque en $ N $ aparece un número impar de veces –y ninguna en$ b^2$ por ser $ a $ y $ b $ coprimos.)

Otras demostraciones, otros teoremas

Si $ p $ un primo entonces $\sqrt{p}$ es irracional.

Demostración por descenso infinito (para el caso en que $N = p$, un primo)

$p = a^2/b^2$ es decir, $pb^2 = a^2$ Entonces, $ p $ divide a $a^2$ En consecuencia $ p $ divide a $ a $ Digamos $a = pA$ Así que $pb^2 = (p^2)(A^2)$ Cancelando $ p $ se obtiene $b^2 = pA^2$ Pero ahora se ve que $ p $ divide a $b^2$ Luego, divide a $ b $ Digamos que $b = pB$ De nuevo: $p^2B^2 = pA^2$ O sea $pB^2 = A^2$ Logramos la misma situación con la que empezamos, sólo que $A<a$ y $B<b$.

Continuando de esa manera generamos una sucesión infinita de A’s y B’s decreciente. Pero esto es una contradicción pues los números naturales tienen al 1 como cota inferior. Esta contradicción nos lleva a concluir que no es posible sostener que un primo tiene una raíz racional.

Si $ p $ es un primo entonces $\sqrt{p}$ es irracional.

Demostración:

Supongamos que $\sqrt{p} = a/b$ con $a, b$ enteros positivos y coprimos. Es decir, $ b $ es el mínimo entero positivo que al multiplicarlo por $\sqrt{p}$ da como resultado un entero. Vamos a demostrar que esto lleva a un absurdo.

Para ello sea $ c $ el entero mayor menor que $\sqrt{p}$. Por ejemplo, si $p = 5, c = 2$. Entonces $b[\sqrt{p}- c] = b[\sqrt{p}] – bc$.

(Notemos que $√p- c$ es la fracción, menor que 1 y mayor que 0, que falta para llegar a la raíz de $ p $.) Ahora, $b√p = a$ es un entero, y $bc$ es un entero. Por lo tanto, $b√p – bc$ debe ser entero, digamos $ d $: $d = b√p– bc < b $.

Si ahora multiplicamos por √p obtenemos: $d√p = bp – bc√p= bp – ca$ = entero. Y hemos logrado una contradicción, pues ahora tenemos un entero menor que $ b $ que al multiplicarlo por $√p$ resulta en un entero.

Notemos que la contrapuesta de este teorema es: si la raíz cuadrada de un entero positivo m es racional, entonces $ m $ no es primo (i.e., es compuesto). ¿Cómo se puede usar este resultado para probar nuestro teorema sobre cuadrados perfectos? Para responder es necesario percatarnos de que el producto y el cociente de dos racionales son racionales: Si $ m $ y $ n $ son racionales, entonces $m = a/b$ y $n =c/d$. Pero entonces $mn = ac/cd$ y $m/n = ad/bc$, es decir, el producto y el cociente de racionales es racional.

¿Qué pasa si $ m $ es racional pero $ n $ es irracional? En ese caso, $k = mn $ y, como $1/m$ es también racional, $n = k(1/m)$. Pero $ n $ es irracional; luego, $ k $ es irracional. En otras palabras, si el producto de dos números es irracional entonces alguno de esos números (o los dos) es irracional.

Por lo anterior, si un número no es cuadrado perfecto entonces o bien es primo o bien es compuesto. Si es primo, entonces su raíz es irracional (como se acaba de probar). Si es compuesto, entonces su descomposición prima es tal que algún factor tiene exponente impar, digamos $q^(2k+1)$. Así que, su raíz cuadrada tiene que ser irracional pues sería de la forma $(q^k)√q$. 2. Dados a no nulo y cuadrado perfecto y b entero, entonces ab es cuadrado perfecto si y sólo si b es cuadrado perfecto.

Demostración:

Para la parte “si” de la afirmación, supongamos que $ b $ es cuadrado perfecto. Vamos a demostrar que, bajo la hipótesis de $ a $ cuadrado perfecto, $ab$ es cuadrado perfecto.

Sean pues $r, s$ dos enteros tales que $r^2=a, s^2=b$. Entonces $ab=r^2s^2=(rs)^2$ y $ab$ es cuadrado perfecto. Para la parte “sólo si” supongamos que existen $r, q$ enteros de tal manera que $r^2=a$ y $q^2=ab$. Vamos a demostrar que es cuadrado perfecto. Veamos: $b=ab/a=q^2/r^2$, y nos faltaría sólo ver que $q/r$ es entero. Para verlo tenemos que recordar el teorema que dice: si la raíz de un número es racional entonces es cuadrado perfecto. Así que, como $√b=q/r$, $ b $ es cuadrado perfecto.

3. Si $ a $ y$ b $ son primos relativos, entonces $ab$ es cuadrado perfecto si, y sólo si, ambos son cuadrados perfectos.

Demostración:

Si y son cuadrados perfectos, el resultado es evidente. Por otro lado, si $ab$ es cuadrado perfecto y $ a $ y$ b $ son coprimos, entonces (por definición de coprimalidad) $ a $ y $ b $ no tienen factores en común. Pero entonces tampoco tiene factores primos en común. En otras palabras, la factorización prima de $ab$ se forma yuxtaponiendo la$ a $ con la de $ b $.

Y como $ab$ es cuadrado perfecto, los exponentes en dicha factorización son todos pares. Pero como dicha factorización prima se formó por yuxtaposición, entonces los exponentes en las factorizaciones primas de $ a $ y $ b $ ya eran pares. Es decir, $ a $ y $ b $ son en sí mismos cuadrados perfectos.

Instancias de uso:

  1. Una progresion aritmetica de cuadrados
  2. Sobre primos y cuadrados perfectos
  3. sobre consecutivos y cuadrados perfectos

Trucos que funcionan para problemas de cuadrados perfectos

Si n es cuadrado perfecto entonces, al dividirlo entre 4, deja residuo 0 o 1.

Demostración:

Puesto que los residuos posibles al dividir un número entre 4 son 0, 1, 2, o 3, entonces los posibles de su cuadrado son 0 o 1. En otras palabras:

–Si m = 4k, entonces m^2 = 16k^2 (residuo cero)

–Si m = 4k + 1, entonces m^2 = 16k^2 + 8k + 1 (residuo 1)

–Si m = 4k + 2, entonces m^2 = 16k^2 + 16k + 1 (residuo 1)

–Si m = 4k + 3, entonces m^2 = 16k^2 + 24k + 1 (residuo 1)

(Argumento corto: como sólo nos interesa el residuo, en (4k + i)^2 tiramos a la basura los dos primeros sumandos de la expansión –pues son múltiplos de 4—y retenemos sólo i^2; las posibilidades son 0, 1, 4, 9 que dejan residuos 0 o 1.)

Regla: si un número n deja residuo 2 o 3 al ser dividido entre 4, entonces n no es cuadrado perfecto.

Instancia de uso: ¿Es 71,663,754,671 cuadrado perfecto?

Respuesta: Antes de hacer cualquier cosa tratemos de ver si puede ser cuadrado perfecto usando la regla de uso. Es decir, calculemos su residuo al dividirlo entre 4. (Como se sabe, sólo es necesario fijarnos en las últimas dos cifras.) Claramente, 71 deja 3 de residuo al dividirse entre 4. Por tanto no es cuadrado perfecto. ¿Vieron el truco? Se trata de eliminar posibilidades.

Problema: Un número es de cuatro cifras, las dos primeras cifras son iguales, las dos últimas también son iguales y el número es un cuadrado perfecto. ¿Cómo es ese número?

Solución:

El número tiene las dos primeras cifras iguales y las dos últimas iguales luego, es de la forma aabb. Es decir, tiene la forma a(1100) + b(11). De aquí que es múltiplo de 11. Como es cuadrado perfecto, es múltiplo de 121. Es decir, a(1100) + b(11) = c(121), o bien a(100) + b = c(11).

Según la regla de divisibilidad entre 11, la suma alternada de las cifras de a0b debe ser múltiplo de 11 (a – 0 + b = múltiplo de 11). Pero a y b son dígitos. Luego su suma no puede pasar de 18. Luego, a + b =11.

Por otro lado, las terminaciones de un cuadrado perfecto sólo pueden ser 1, 4, 5, 6, 9, y estos son los posibles valores para b.

Vemos que b no puede ser 1, pues a debe ser 9 o menos. Nos quedan cuatro casos. Se pide al lector los analice y llegue a ver que el número es 7744 = 88^2.

Problema:

Determinar todos los enteros no negativos m y n tales que N = 6^m+2^n+2 es un cuadrado perfecto.

Solución:

Podemos empezar, como calentamiento, probando los valores más sencillos para m y n: m = n = 1, nos da 10; m = 1, n = 2, nos da 12… ¡Momento! No negativos significa 0, 1, 2… Por lo tanto m = n = 0, es admisible. Y ya encontramos una solución: 1 + 1 + 2 = 4. Faltarían las demás.

Vamos ahora a aplicar el método de casos extremos. Es decir, vamos a analizar los casos m = 0 y n = 0.

Si m = 0, tenemos N = 3 + 2^n. Como queremos que N sea cuadrado perfecto, entonces debe ser de la forma 4r o 4r + 1. Si n = 0 se logra un cuadrado perfecto (4); si n = 1, N = 5; y si n es mayor que 2, N = 4r + 3 y no es cuadrado perfecto. Así que, para m = 0, la única solución es (m, n) = (0, 0).

Si n = 0, tenemos N = 6^m + 3. La solución (0, 0) ya la tenemos. Si m = 1, N = 9, y se tiene otra solución: (1, 0). Si m es 2 o más, N = 36(6)^s + 3 y no puede ser cuadrado perfecto pues el 36 no puede ser factorizado: N es de la forma 4r + 3 y no puede ser cuadrado perfecto. Así que, para n = 0, la única solución adicional es (1, 0).

Veamos ahora qué resulta si m = 1. En este caso, N = 8 + 2^n, y si n es mayor que 1 entonces N = 4(2 + 2^s) y se ve que la única solución es n = 3 (s = 1). Hemos obtenido entonces la solución adicional (1, 3).

En resumen, tenemos las soluciones (0, 0), (1, 0) y (1, 3).

Si n = 1, N = 6^m + 4 nunca puede ser cuadrado perfecto, pues si m = 0, N = 5, y si m es 1, N = 10. Y si m es mayor que 1, N = 9(4)6^s + 4 = 4[9(6)^s + 1] y se ve que la cantidad entre paréntesis nunca puede ser potencia impar de 4. En síntesis, no hay soluciones para n = 1.