Si dos cantidades son iguales entonces son intercambiables --en el cálculo o demostración.
Parece trivial. Y lo es. Pero hay que aprender a usarlo. Antiguamente se solía decir:
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
Pero no se trata de aprender a recitarlo, se trata de aprender a usarlo.
Ejemplos:
1. Considere el sistema $x+y=z$, $z=5$
Aquí tenemos que (dos cosas) $x+y$ y 5 son iguales a $z$ (una tercera). Por tanto, $x+y=5$ (son iguales entre sí).
2. Supongamos que en una configuración geométrica observamos que los ángulos $z$ y $w$ son complementarios (suman 90) y que lo mismo es cierto de los ángulos $y$ y $z$.
Tenemos entonces que cada una de dos sumas valen 90. Por tanto las sumas son iguales: $y+z=z+w$; por tanto, $y=w$
El principio de sustitución se puede usar como artificio algebraico simplificador.
Más ejemplos:
3. Considere la ecuación bicuadrática $x^4 - 9x^2 + 8 = 0$ y suponga que le piden encontrar los valores de $x$ que la satisfacen.
Un método es hacer $u=x^2$, sustituir y resolver la cuadrática que resulta, para finalmente regresar a la variable original.
La cuadrática que resulta es $u^2 - 9u + 8 =0$. Se puede factorizar a ojo como $(u-1)(u-8)=0$. Por tanto, sus raíces son $u=1,u=8$.
Ahora regresamos a la variable original: De $u=x^2=1$ se sigue que $x=\pm1$; de $u=x^2=8$ se sigue que $x=\pm{2}\sqrt{2}$
Lo que tenemos en este último ejemplo es un artificio algebraico que simplifica la solución del problema. Es decir, obligamos a que dos cosas ($u, 1$) sean iguales a una tercera ($x^2$).
Cabe aquí una advertencia. Al obligar una sustitución, podría suceder que al regresar a la variable original una o más de las soluciones encontradas no verifiquen la ecuación original.
Por esa razón habría que hacer la verificación a mano sustituyendo directamente (las soluciones encontradas) en la ecuación original. Las que no la satisfacen simplemente se descartan (se les llama soluciones extrañas).
4. Considere la ecuación $3x+8\sqrt{x}-3=0$.
Una forma de resolverla es mediante la sustitución $u=\sqrt{x}$ --después de reconocer la estructura de una cuadrática.
En ese caso, se logra obtener la cuadrática $3u^2+8u-3=0$, la cual se factoriza como $(3u-1)(u+3)=0$.
Por tanto sus raíces son $u=1/3,u=-3$. Pero $u=\sqrt{x}$. Es decir, $x=1/9,x=9$. Pero $x=9$ no satisface la ecuación original y se tira a la basura.
Reducción de la complejidad
El principio de sustitución es también útil para revelar una estructura familiar en productos notables. Por ejemplo, la estructura de diferencia de cuadrados.
Para quien no es profesor de álgebra pero sabe álgebra, la factorización de las siguientes expresiones es trivial --pues inmediatamente reconoce la estructura de la diferencia de cuadrados:
$$(x + 8)^2 – (x - 7)^2$$
$$(x + 3)^4 – (x - 3)^4$$
Pero un profesor de álgebra también sabe que esos ejercicios son de altísima dificultad para sus estudiantes y nunca acaba de acostumbrarse a respuestas tales como:
$$(x + 8)^2 – (x - 7)^2=[(x + 8) – (x - 7)]^2$$
$$16x^2y^2– 49z^6=[(4xy)-(7z^3)]^2$$
(el lado derecho es la respuesta a la tarea de factorizar el izquierdo)
En su tarea de enseñanza, el profesor también sabe que la sustitución o cambio de variable facilita la factorización --si bien el estudiante debe sospechar la presencia de una diferencia de cuadrados.
Por ejemplo en
$$(x + 8)^2 – (x - 7)^2$$
el estudiante (entrenado en el método por su profesor) primero reconoce o malicia una diferencia de cuadrados y entonces hace la sustitución $z=x+8,w=x-7$ para obtener la expresión
$$z^2-w^2$$
Ahora la estructura de diferencia de cuadrados es evidente y ya puede factorizar como
$$z^2-w^2=(z-w)(z+w)$$
De modo que no solamente la estructura sino con ella también la factorización se se hace evidente --transformándose en una de rutina (de acuerdo a fórmula).
Ya solamente queda regresar a las variables originales:
$$(x + 8)^2 – (x - 7)^2=z^2-w^2=(z-w)(z+w)=15(2x+1)$$
En este ejemplo la sustitución se realizó para sumas. Pero también se puede hacer para productos:
$$16x^2y^2– 49z^6=(4xy)^2-(7z^3)^2=(4xy-7z^3)(4xy+7z^3)$$
En resumen, el principio de sustitución orientado a reducir la complejidad de expresiones algebraicas --de las que se sospecha son productos notables-- se podría enunciar de la siguiente manera:
La sustitución de una variable por un término complejo de una expresión algebraica no altera la estructura de la expresión.
Los saluda
jmd
PD: El principio de sustitución no es un teorema, es más bien un axioma. Es la propiedad de transitividad de la igualdad: si $x=y$ y $y=z$ entonces $x=z$.
PD2: No debe confundirse este principio de sustitución con este otro --que usan mis alumnos (al menos eso infiero de sus respuestas):
Si no encuentras rapidamente una respuesta satisfactoria a una pregunta difícil, entonces sustituye ésta por una pregunta relacionada más fácil y respóndela.
Corrección: Este principio lo usa todo mundo --y no solamente mis estudiantes. Por ejemplo, un ciudadano con credencial de elector se puede plantear la pregunta ¿qué tan bien haría su trabajo como presidente el candidato X?
Pero es difícil responder a ella. Por ello, es mejor sustituirla por esta otra: ¿Qué tan bien me cae el candidato X?