En el concurso estatal de la XXVII OMM Tamaulipas 2013, el problema 4 fue de álgebra y la expectativa era que nadie lo resolvería. Pero, para nuestra sorpresa, un alumno del CBtis 15 (el plantel sede) lo resolvió correctamente (usando derivadas). Vaya una felicitación para Oscar Rosas Castillo por no dejarse intimidar por ese problema --y por tener las herramientas necesarias para resolverlo.
El problema (y algunos comentarios)
4A. Encontrar el valor mínimo de la expresión $(x^4+x^2+5)/(x^2+1)^2$ y el valor de la $x$ para el cual se logra.
De Oscar se puede decir que abordó el problema de acuerdo a su caja de herramientas. "¿Cómo se juega esto?" --acaso se preguntaría. Y la respuesta la encontró en su curso de cálculo I.
Ese es el talante adecuado --creemos-- para el problem solving de concurso: entiende el enunciado, busca en tu caja de herramientas y usa la que te parezca adecuada.
En contra de las recomendaciones de los doctores en Educación Matemática --nada de memoria, pura comprensión; nada procedimental, todo conceptual--, este muchacho se sabía de memoria la fórmula para derivar un cociente (quizá la más difícil de memorizar).
Después aplicó la regla de la primera derivada (deriva, iguala a cero y despeja), y salvó con éxito los peligros de la manipulación algebraica hasta llegar a dar la respuesta (19/20, y $x=\pm3$).
Toda una hazaña. ("Lo verdaderamente extraordinario en la educación contemporánea es que algún alumno pueda resolver problemas de rutina con procedimientos de rutina.")
En los días anteriores al concurso conversé con un profesor de secundaria, asesor de un niño que concursó en la etapa regional. Incidentalmente estaba el periódico del día sobre el escritorio y, para iniciar la conversación, le pregunté ¿Cómo ves profe esta nota? (La nota decía: Reprobados en matemáticas 5 de cada 6 en Tamaulipas.) ¿Por qué crees que estamos tan mal?
Y su respuesta me sorprendió --pues es políticamente incorrecta. Dijo: No profe, pues es que con todo eso de los derechos humanos ya tiene uno miedo hasta de hablar. Así que agradecí la confianza y con una sonrisa le mostré mi adhesión.
Estamos en el escenario típico de un administrador que no tiene ningún control sobre lo que se suponía debía administrar. Ejemplo: Los alumnos no hicieron la tarea. (Ante la desviación de un estándar el administrador debe tomar acciones correctivas.) ¿Qué puede hacer el profesor? La cruda verdad es que nada puede hacer. (Pues casi cualquier acción correctiva podría ser mal vista por las nuevas normas de conducta socialmente aceptable.)
No quiero decir que en algún tiempo la educación haya sido excelente. Pero de perdido no había tantos opinadores (y administradores y expertos en educación) metiendo mano en los asuntos escolares y distorsionando toda la situación.
Porque si ya toda acción correctiva queda bajo sospecha de violar los derechos humanos, lo único que puede hacer el profesor (bueno, es una de sus opciones) es impartir temas placebo. Me explico: el profesor sabe que el tema de su clase no va a tener ningún efecto de aprendizaje sobre sus alumnos (pues ya ha eliminado de él todo lo que podría ser una dificultad, todo lo que pudiera ser no placentero para ellos) pero lo imparte para darles una ilusión de aprendizaje. Y todos felices.
Según la Wikipedia en muchos edificios de oficinas de los Estados Unidos han sido instalados termostatos individuales con la única finalidad de mantener a los empleados contentos y darles una ilusión de control --del aire acondicionado. ( Según el estereotipo, las mujeres son friolentas y los hombres acalorados.)
Se trata de dispositivos placebo (no tienen ningún efecto, como las píldoras de azúcar su única función es crear la ilusión del efecto). Y todos felices. (Creo que los dispositivos placebo son una buena metáfora para describir la educación contemporánea en México.)
Sobre el problema se puede decir que, si se ve desde la perspectiva del cálculo, el problema es de rutina. Y el procedimiento de rutina es la regla de la primera derivada. Aunque su aplicación efectiva requiere de una habilidad en la manipulación algebraica por arriba del promedio. ("No aprenden cálculo, no porque el cálculo sea difícil --como lo es-- sino porque no dominan ni siquiera los rudimentos del álgebra.")
Lo que se necesita saber para resolver sin cálculo
Pero también se puede resolver sin cálculo. Y desde esta perspectiva el problema es no de rutina. Porque un tema del álgebra que no se enseña en la escuela es el denominado máximos y mínimos sin derivadas. ¿Para qué valores de $x$ logra la parábola $y=x^2+bx+c$ su mínimo? Y, bueno, este problema es no de rutina. ("Ya quisieras que pudieran graficar la parábola")
El procedimiento es así: Completando el trinomio cuadrado perfecto se tiene $y=x^2+2(bx/2)+(b/2)^2-(b/2)^2+c=(x+b/2)^2+c-(b/2)^2$
Y aquí lo que hay que observar es que tenemos un binomio cuadrado (cuyo valor depende de la $x$ y es no negativo para cualquier valor de $x$) más una constante (la cual es fija y no depende de $x$).
Y si se observa eso, debería ser claro que el mínimo de $y$ se logra precisamente cuando el binomio al cuadrado es cero. ¿Y cuando es cero? Es cero cuando $x=-b/2$ ¿Cierto?
Y aquí también debería ser clara la razón por la cual esto no se enseña en la escuela. Un porcentaje muy bajp de los alumnos puede ver eso que yo digo que debería ser claro (que para $x=-b/2$ se logra el mínimo).
Por supuesto que se pueden idear actividades orientadas a ver eso que es evidente para la mente entrenada (a ver lo que debe ver). Pero el tiempo del aula es escaso. (Y peor cuando no hay esperanzas de que los alumnos las realicen...)
Y no se puede ver quizá también porque se espera que la respuesta esté en el álgebra misma. Pero no. La respuesta no está en el álgebra sino que queda fuera de ella. La respuesta está en el concepto de mínimo. ¿Y eso cómo lo enseñas?
La solución
Nombremos con $y$ a la expresión. Entonces, buscando una sustitución, transformemos el numerador como sigue:
$$x^4+x^2+5=x^4+2x^2+1+5-x^2-1=(x^2+1)^2-(x^2-4)=(x^2+1)^2-(x^2+1-5)$$
$$=(x^2+1)^2-(x^2+1)+5$$
Y ahora efectuamos la división para obtener $$y=1-1/(x^2+1)+5/(x^2+1)^2$$
Lo cual sugiere el cambio de variable $u=1/(x^2+1)$. Y, con ello, la expresión se transforma en $y=1-u+5u^2=5(u^2-u/5+1/5)$. (Una parábola.)
Completando el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis, se llega a la forma equivalente $y=5[(u-1/10)^2+19/100]$. Y se hace evidente que el mínimo es 95/100, el cual se logra cuando $u=1/10$. Es decir, cuando $x=3$ (o -3)
Los saluda
jmd