Me he encontrado en estos días con la notabilísima identidad algebraica (para a,b,c reales):
$$abc+(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Su rasgo distintivo radica --creo-- en que el lado derecho refleja el izquierdo pero intercambiando la suma por el producto y éste por aquélla. Es decir, lo que en el lado izquierdo es producto en el derecho es suma y la suma en el izquierdo es producto en el derecho.
Y, bueno, es relativamente fácil demostrarla mediante la regla distributiva. Y, sin embargo, esa demostración es tediosa y poco eficiente. Así que, en busca de una demostración más eficiente y elegante (más conceptual y no de rutina) se me ocurrió que es posible introducir un argumento combinatorio para abrir paréntesis en el lado derecho.
Consideremos pues el lado derecho invirtiendo el orden de los factores:
$$(ab+bc+ca)(a+b+c)$$
Si llamamos a c el complemento de ab (y similarmente para las otras literales), entonces el argumento sería el siguiente:
Cada término del primer paréntesis se multiplica por su complementario en el segundo o bien por la suma de sus factores. En el primer caso se obtiene 3abc en el desarrollo del producto, y para el segundo se obtiene la expresión
$$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$. En resumen, la expansión del lado derecho resulta en
$$3abc+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
Un argumento similar se aplica al segundo término del lado izquierdo
$$(a+b)(b+c)(c+a)$$
Si tomo los primeros términos de cada paréntesis se obtiene $abc$ y lo mismo pasa si tomo los segundos. De otra manera (tomando dos primeros y un segundo o dos segundos y un primero), los restantes términos de la expansión son
$$ca(c+a)+bc(b+c)+ab(b+c)$$
En resumen, se constata que el lado izquierdo expandido consta de los mismos términos que los de la expansión del lado derecho.
OK Pero después de haber realizado esta demostración no la vi tan satisfactoria. Así que me acordé de una otra forma en que se pueden demostrar identidades de este tipo (i.e., en las que su origen parece misterioso). Se trata de poner uno de los lados de la identidad en forma de determinante.
Y, bueno, buscándole un poco y por prueba y error llegué al siguiente determinante:
$$\left|
\begin{array}{ccc}
a+b&c&0\\
0&b+c&a\\
b&0&c+a
\end{array}
\right|=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$$
Ahora bien, como se sabe, el valor de un determinante no cambia si una columna se suma a otra. Así que, sumando las columnas dos y tres a la primera se obtiene
$$\left|
\begin{array}{ccc}
a+b+c&c&0\\
a+b+c&b+c&a\\
a+b+c&0&c+a
\end{array}
\right|$$
Y, desarrollando por menores, este determinante es equivalente a la siguiente expresión:
$$(a+b+c)[(b+c)(c+a)-c(c+a)+ca]$$
Es decir, es equivalente a la expresión
$$(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
¿No es maravilloso amigos?
Los saluda
jmd
PD: Un próximo post lo dedicaré a las propiedades básicas de los determinantes. Por lo pronto pueden consultar el siguiente artículo en vadenumeros.es [1]
PD2: Añado abajo el código latex para determinante.
\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{array}
\right|$
Muy interesante forma de
Muy interesante forma de demostrar identidades.
Antes de calcular el último determinante, yo restaría el primer renglón al segundo y terecero. Quedando entonces: $$\left|
\begin{array}{ccc}
a+b+c&c&0\\
0&b&a\\
0&-c&c+a
\end{array}
\right|$$
Como hay una columna de ceros, el determinante se reduce a $$(a+b+c)\left|
\begin{array}{cc}
b&a\\
-c&c+a
\end{array}
\right|$$
Que evidentemente es $(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Saludos