Llamo problemas verbales (word problems) a los problemas razonados con los que se introduce (o debería introducirse) el razonamiento matemático en la escuela primaria (en quinto y sexto año por lo menos). Voy a ilustrar el tema con
Un ejemplo
Jenny tiene 7 pesos y su hermana 2. Después de que su madre les da una misma cantidad de pesos Jenny tiene el doble que su hermana. ¿Cuánto recibieron de su madre?
Solución algebraica
Sea x la cantidad recibida de su madre. Entonces, el problema se modela de la siguiente manera: $7+x=2(2+x)$. Es decir, $x=3$ --recibieron 3 pesos de su madre.
Elemental ¿no es cierto? Pues sí pero no para un niño de quinto año (11 años). Y ello porque no hay álgebra en aula de primaria. (No se le puede enseñar porque aún no alcanza la etapa de pensamiento formal en su desarrollo cognitivo --según se sabe.)
En la escuela primaria se prepara a los alumnos en aritmética, y se esperaría que la forma de enseñarla los prepare para el álgebra, la cual tiene que esperar la educación secundaria.
Y, sin embargo, el problema está al alcance de un niño de 11 años (bueno, por lo menos en teoría). Por ejemplo, lo puede resolver por tanteos: se propone al cantidad recibida y se verifica si cumple la condición del "doble que". Pero ese método tampoco es enseñado, pues se cree que es un método natural de resolverlo.
Otra forma de resolverlo es diagramático --el cual sí se enseña en Singapur. Sería más o menos como sigue:
Los datos del enunciado se representan gráficamente (la representación gráfica ayuda al razonamiento).
Se agrega al diagrama la cantidad recibida --la cual no se sabe cuánto es pero... Una vez teniendo el diagrama ya se puede razonar sobre él. Y se puede usar el método del "número escondido": la cantidad recibida más 2 es 5, por tanto la cantidad recibida es 3.
Entre lo concreto y lo abstracto está el diagrama
Todo mundo está de acuerdo en que, en el desarrollo cognitivo de los niños, primero es lo concreto y después lo abstracto. Pero intermedio entre esas dos formas de razonar está el razonamiento diagramático. Y el método Singapur de resolución de problemas razonados le apostó a esa hipótesis (clásica pero poco apreciada). El lema del currículum de la educación matemática básica en Singapur refleja esa apuesta: concreto, pictórico, abstracto.
Nota geográfica y económica: Singapur es un pequeño país en el extremo sur de la península de Malasia, sin ser parte de ésta pues es una isla --de hecho son varias islas. Añadiré que, de acuerdo a su economía, es uno de los "cuatro tigres asiáticos" --siendo los otros tres Korea del Sur, Hong Kong y Taiwan.
Ilustración del razonamiento diagramático
Ya en otra ocasión había escrito un post sobre razonamiento diagramático y el método Singapur [1]
En esta ocasión voy continuar ese post, ilustrando el método diagramático de Singapur con algunos problemas razonados. Voy a resolver el más difícil y los restantes se quedan como un ejercicio para el lector.
Problema 1 (edades desfasadas): Beto tiene el doble de la edad que Sandra tenía cuando Beto tenía la edad que ahora tiene Sandra. Cuando Sandra tenga la edad que ahora tiene Beto, la suma de sus edades será 45 años. Calcular la edad de Sandra.
Solución diagramática
(Hay que saber que la diferencia de edades se mantiene constante en el tiempo.) Sea $d$ la diferencia de edades y representemos con $b$ la edad de Beto y con $s$ la edad de Sandra.
Desplazando las edades de Sandra y Beto $d$ años hacia el pasado, se hace evidente que Beto tiene $4d$ años.
Desplazando las edades $d$ unidades hacia el futuro, se puede ver que $5d+4d=45$. Es decir, $d=5$. Por tanto, Beto tiene 20 y Sandra 15.
Problema 2 (suma y diferencia): Las edades de Beto y Sandra suman 35 años, y su diferencia es 5. Calcularlas.
Problema 3 (la mula y el burro): Le dice el burro a la mula "si me ayudaras con 10 ladrillos llevaríamos la misma carga". Y la mula le contesta "si tú me ayudaras con 10 llevarías el doble que yo." Calcular los ladrillos que lleva cada uno.
Problema 4 (Padre e hijo): El padre es 45 años mayor que su hijo. En 6 años éste tendrá la cuarta parte de la edad de su padre.
Problema 5. Dos números suman 60, y el mayor es cuatro veces el menor.
Problema 6. Alex tiene 48 pesos más que Arturo y éste la séptima parte de loque Alex tiene.
Se invita al lector a intentar resolver los problemas en el post Razonados de álgebra sin álgebra [2] utilizando el método Singapur
Los saluda
jmd