Método de áreas (para encontrar razones)

Es conocido el hecho de que dos triángulos con la misma base y la misma altura tienen igual área.

Un poco menos conocido es el hecho de que si tienen la misma altura, la razón de sus bases es igual a la razón de sus áreas. Elemental, pero hay que verlo funcionando:

Al resolver problemas de razones y proporciones (en geometría) no está de más recordar el siguiente resultado elemental:

$$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \quad \Longrightarrow \quad k=\frac{a+c}{b+d}$$ ¿No me creen? The proof: $a=kb, c=kd$, por hipótesis; sustituye, factoriza y cancela y el resultado se sigue...

Resultado operativo del método de áreas

Con los resultados que se destacan arriba, no será difícil para el cibernauta aficionado a las matemáticas de concurso derivar los siguientes resultados de razones de áreas cuando se tiene un punto interior a un triángulo ABC:

$$\frac{AP}{PA'}=\frac{S_B+S_C}{S_A}$$ $$\frac{BP}{PB'}=\frac{S_C+S_A}{S_B}$$ $$\frac{CP}{PC'}=\frac{S_A+S_B}{S_C}$$

Las figuras muestran dos copias del mismo triángulo y las mismas cevianas, sólo que destacando diferentes aspectos: en la figura superior se destaca el punto P interior al triángulo y las áreas de los triángulos a que da lugar; en la inferior, se prolongan los segmentos AP, BP y CP hasta cortar los lados resultando, respectivamente, los puntos A', B', C'.

Me gustaría sugerir al cibernauta que focalice el aspecto visual (y cíclico) de los resultados apoyado en la figura superior. Las figuras tratan de ser una ayuda mnemónica para memorizarlos: AP/PA' es la suma de áreas al lado del segmento AP dividida entre el área abajo de ellas, etc. (Nótese que, visto de esta manera, memorizando una se memorizan las tres.)

Con la misma figura se pueden derivar estas otras razones:
$$\frac{BA'}{A'C}=\frac{S_C}{S_B}$$

$$\frac{CB'}{B'A}=\frac{S_A}{S_C}$$

$$\frac{AC'}{C'B}=\frac{S_B}{S_A}$$ 

Igual que para las razones en que el punto de concurrencia de las cevianas corta a éstas, aquí es muy recomendable mantener la imagen de las figuras en mente, como una ayuda mnemónica al momento de resolver problemas que involucran razones de segmentos.

Ejercicios

Con estos resultados, el lector será capaz de resolver el problema ¿Cómo se demostraba Ceva con áreas? [1]y después el problema planteado por Zzq [2]

Cuando el cognizador los haya resuelto y pueda apreciar la eficacia del método de áreas, puede resultarle útil regresar a demostrar los resultados que constituyen este método y compartidos por el que esto escribe con los usuarios de MaTeTaM (quien a su vez los adaptó de una exposición de Mendes y Thiago, dos entrenadores de la selección brasileira).

Los saluda
jmd

PD: Puede ser que sea útil --para documentar las limitaciones de la cognición humana-- el reconocer que, sin el método de áreas, los problemas planteados como ejercicios son endiabladamente difíciles (enfermos, en la clasificación de MaTeTaM) y que, con el método, pasan a la categoría de intermedios.

La moraleja sería que el aspirante a ser un campeón necesita urgentemente apropiarse de las herramientas adecuadas del problem solving. El evento de que durante el concurso pueda deducir el método de áreas tiene probabilidad cero de ocurrir. Y esto conduce a la segunda moraleja: el éxito en concursos es directamente proporcional al tiempo dedicado al estudio individual y casero (o de biblioteca --¿existen todavía?).

PD2: Si el lector llegara a interesarse y a apropiarse del método de áreas, no debería intentar comunicarlo a cualquiera, sino solamente a quien él considere que podría valorarlo.

Adjunto		Descripción	Tamaño
	segmentos.doc [6]	Comunicación de Mendez y Thiago sobre el método de áreas --con ejemplos y ejercicios tomados de concursos internacionales.	81.5 KB