Parece ser que los escuelantes y los profesores de secundaria y bachillerato han sido tomados por sorpresa por los exámenes ENLACE, PISA y CENEVAL. Y más sorprendidos están los administradores educativos desde los expertos de la SEP hasta los directores de escuela (pasando por los líderes sindicales). Pues la consigna, no expresada pero vigente, de los administradores es: que todos pasen, así se tengan que inflar las calificaciones.
Estándares revisados para la educación matemática
Aparte de la costumbre de pasar a todos independientemente de calidad, la razón de esa sorpresa podría ser que dichas evaluaciones se basan en estándares inexistentes hace dos décadas. Unos estándares que surgieron de una revisión de los anteriores en los que bastaba con repetir de memoria lo que se había aprendido en la escuela.
Surgieron así los estándares revisados en los que PISA está marcando el ritmo y "jalando la cuerda al trompo" (cada tres años a partir del 2000) --y todo parece indicar que "sí lo sabe bailar".
Los estándares revisados que PISA ha impuesto a la comunidad internacional pensante (noósfera=esfera del pensamiento humano), apuntan a una aplicación de los principios y los procedimientos matemáticos a situaciones reales o verosímiles de la vida cotidiana (en lo que se ha dado en llamar "el contexto auténtico" en problemas razonados).
Los estándares revisados de las matemáticas escolares apuntan a superar la debilidad escolar (que ya es crónica) consistente en saber el teorema de Pitágoras pero ser incapaz de aplicarlo. Y para superar esa debilidad de la enseñanza de las matemáticas a nivel mundial, PISA enfatiza (exigiendo con sus problemas) el razonamiento matemático en el problem solving y la modelación.
Se puede decir que los problemas razonados de PISA reflejan (y dan la pauta a) los nuevos estándares en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Los cuales, a su vez, reflejan la aspiración de la noósfera de que los conceptos y los procedimientos de las matemáticas vayan más allá de los ejercicios y exámenes escolares y se vinculen --en la mente del aprendiz-- con los quehaceres de la vida cotidiana.
Una aspiración muy loable, pero posiblemente infactible. Pues, de acuerdo a mi experiencia (y la de muchos como yo), el estudiante promedio prefiere aprender los procedimientos básicos y trata de evitar el razonamiento. Pero, incluso si es incapaz de razonar un problema, sí puede aplicar un procedimiento de rutina.
(Y, posiblemente, después de haber aplicado muchas veces el procedimiento en diversos problemas similares, pueda llegar a percibir las similaridades que existen en esos problemas y empiece a generar sus propios modos de razonamiento a partir de esa percepción. Podría ser, pero...)
El experto (estudiante o profesor) ya tiene interiorizados ciertos procedimientos matemáticos en un grado tal que, para él, son los "naturales" --y no le ve mucho caso a tratar explicarlos a terceros. Es más, ni siquiera le pasa por al cabeza que deberían ser explicados.
E incluso en el caso que se le ocurra y que le vea alguna utilidad a la explicación de los procedimientos básicos, aún así prefiere aplicar el principio de "es mejor no ayudarle tanto para que no se haga atenido". Esta es la posición de la enseñanza por el problem solving en sus diversas variantes (una de ellas es la Teoría de las Situaciones Didácticas). Ver, por ejemplo, mis posts problemas con trampa procedimental [1] y Dispositivos experimentales de Piaget y didacticosBrousseau [2]
Pero, según la evidencia aportada por los resultados de PISA, para el aprendiz que no conoce el procedimiento, éste es algo alienígena, algo que --siendo optimista-- apenas se va a meter en la cabeza. Una conclusión posible de esta tesis es que el procedimiento debe serle enseñado. Ésta es la posición u opinión tradicional sobre la enseñanza de las matemáticas.
En particular, debería ser enseñado el procedimiento general de modelación de problemas razonados, el cual es "natural" (después de que se aprende) y está probado en la práctica. Pero, por alguna razón, el experto llega a pensar que todos ya sea que lo conocen o bien que pueden generarlo sobre la marcha.
Que esto sea verdadero o falso no es importante para nosotros aquí. Lo que es verdaderamente importante es --creo-- que el aprendiz pueda tener acceso a ambas experiencias, a las dos situaciones: resolver el problema sin conocer el procedimiento estándar y resolver el problema conociéndolo. El hecho de que, al resolverlo conociendo el procedimiento, el problema se convierta en un ejercicio trivial no es --en mi opinión-- una objeción para la enseñanza de procedimientos.
Por éstas y otras razones podría ser de alguna utilidad dar a conocer a los lectores de MaTeTaM el procedimiento general de modelación de problemas razonados de las matemáticas escolares. Es el siguiente:
Procedimiento de modelación en problemas razonados
- Leer con cuidado el enunciado del problema para averiguar de qué se trata. (Nótese que, en apariencia, es una recomendación innecesaria pero... ¿realmente lo es?)
- En una segunda lectura del enunciado, identificar la incógnita o incógnitas, es decir, asegurarse de cuál es realmente la pregunta. Ésta generalmente viene al final del enunciado. Pero hay excepciones.
- Una vez identificada la incógnita principal, iniciar la solución con la oración "sea x..." (Por ejemplo, sea x la edad del hermano de Juan.) Se entiende que x es lo que se está tratando de encontrar (y, por ello, se le llama incógnita).
- Identificar, y después simbolizar, las relaciones que la incógnita guarda con los datos. (Esto puede requerir leer varias veces el enunciado.)
Enseguida algunos ejemplos de traducción a símbolos (simbolización) de las relaciones de la incógnita con los datos en el enunciado:
- el doble de la incógnita------------------------------------2x
- dos unidades menos que la incógnita----------------x-2
- cinco más que la incógnita-------------------------------x+5
- tres unidades más que dos veces la incógnita--- 2x+3
Dos ejemplos no triviales de modelación
El siguiente problema guarda el formato de los razonados escolares, a pesar de que es uno difícil de teoría de números. Lo presento aquí para discutir la modelación y el formato del enunciado.
El experto evocará, a partir del enunciado, una referencia al problema clásico de la burra (si me ayudaras con dos, nuestras cargas serían iguales) y el mulo (si yo te diera dos, tú llevarías solamente el doble de lo que me quede).
Problema 1. Abel le dice a Bárbara: si me dieras n yo tendría dos veces lo que a ti te quede. Bárbara le contesta: si tú me dieras 2 yo tendría n veces lo que a ti te quede. Encontrar todos los valores enteros positivos posibles de n.
La solución completa está en http://www.matetam.com/problemas/numeros/mulo-y-burra-generalizado [3]
Modelación del problema generalizado del mulo y la burra
Aplicando el procedimiento de modelación mostrado arriba, la primera lectura del enunciado nos dice que es un diálogo entre dos personas. Y se puede inferir que los datos están dados a través de ese diálogo.
En una segunda lectura se identifican la incógnitas: el número de objetos de Abel y el número de objetos de Bárbara.
Sea pues $a=$ el número de objetos que Abel tiene y $b=$ el número de objetos que tiene Bárbara.
La traducción del enunciado a símbolos sería más o menos de la siguiente manera:
Si me dieras $n$................ $a+n$ (lo que tenía Abel más los n que le daría Bárbara)
yo tendría dos veces lo que a tí te quede...$a+n=2(b-n)$
Si tú me dieras 2 ..................$b+2$
yo tendría n veces lo que a tí te quede.......$b+2=n(a-2)$ (sería n veces lo que le quedaría a Abel)
Finalmente, el modelo de las relaciones entre las incógnitas sería el sistema de ecuaciones siguiente:
$$a+n=2(b-n)$$$$b+2=n(a-2)$$
Problema 2. Un ejidatario tiene un hilo eléctrico de 120 metros de longitud y desea usarlo para cercar un área rectangular de pasto para sus vacas. Encontrar el área máxima que puede cercar. (Nota: el hilo eléctrico como cercado es efectivo debido a que si la vaca lo llega a tocar el hilo produce una descarga eléctrica.)
Comentario:
Este problema es de PISA y es un razonado clásico aunque difícil (si no se conoce el procedimiento). Lo que hizo PISA fue darle un contexto auténtico, es decir, es un contexto realista y la pregunta planteada se responde con matemáticas. (Ver mi post sobre contexto auténtico [4].) Por lo demás, el contexto apela a un procedimiento usado actualmente para pastorear ganado en terrenos abiertos (como las tierras de cultivo de un ejido). Con ello, el contexto arrastra su propia idiosincracia y, así, el contexto auténtico aportado por PISA se puede ver como elemento disruptor --pues no todos pueden imaginar que un hilo pueda sevir de cercado.
Recordemos que PISA se aplica a adolescentes de 15 años, al terminar su educación secundaria --y, por tanto, no han estudiado cálculo diferencial. La aclaración es importante porque es muy probable que el adolescente no conozca ni la respuesta (un cuadrado) ni el procedimiento de solución (derivadas). Si supiera el procedimiento, el problema sería trivial; si lo desconoce, el problema es extremadamente difícil.
Modelación del problema PISA
Después de leer el enunciado debería quedar claro que el problema se trata de crear una cerca con un hilo. En una segunda lectura es posible identificar que la incógnita es un área. Y como --quizá a partir de una tercera lectura-- el área debe ser rectangular, es posible evocar la fórmula del área de un rectángulo.
Una vez identificada la incógnita --y pensándole un poco más--, posiblemente el adolescente pueda llegar a redactar el inicio de su solución con: sea $x$ la base y $y$ la altura del rectángulo...
La relación entre las incógnitas es $x+y=60$ (el semiperímetro es la mitad de la longitud del hilo). De esta manera, el modelo matemático para el problema es:
Encontrar los valores de $x,y$ de manera que $xy$ sea el máximo posible sujeto a la restricción $x+y=60$
Los saluda
jmd