El diagrama se debe considerar como una memoria externa y como una ayuda al razonamiento. El diagrama más conocido en matemáticas es tan "natural" que ya es invisible. Estoy hablando de la recta numérica para representar los números reales. La recta numérica es ya "muy natural" porque se usa desde la escuela primaria para razonar sobre los números y, por ejemplo, para enseñar las sumas y las restas con saltos de ranita. Y no es que los números reales sean la recta numérica sino que uno debe imaginar los números en la recta numérica para tener algo concreto sobre lo que se pueda razonar. (Por supuesto, a los niños no hay que darles tanta filosofía, sino que hay que enseñarles la recta numérica como si fuese la cosa más natural del mundo...)
Consideremos la suma $1+3+5+...+2n-1$ de los primeros $ n $ naturales impares. Una prueba visual de que esta suma es $n^2$ se presenta a continuación (aunque el diagrama muestra la suma de impares hasta el 11). Sin embargo, es prueba visual para quien ya está entrenado para verla como prueba visual. Es decir, al diagrama hay que saberlo interpretar, aprender a verlo como algo otro a lo cual representa.
Este post es continuación de la noticia Selecciones Reynosa y Victoria [1] donde comenté la solución diagramática del problema de Razón de Velocidades del concurso ciudades. Para ello voy a comentar sobre el método diagramático de solución de problemas verbales (word problems) usado en Singapur.
El método diagramático no es nuevo, y se podría decir que es casi natural. Los aprendices lo usan intuitivamente para resolver problemas, para razonar sobre los problemas --si bien, quizá, de manera bastante burda, dado que todavía no es un método para ellos, sino un modo de intentar resolver el problema "como Dios les da a entender".
Sin embargo, este método ha alcanzado en los últimos años cierta popularidad en la literatura sobre la enseñanza de las matemáticas escolares debido a que está incluido en el curriculum de un país tercermundista que les ganó a los de primer mundo en varias evaluaciones internacionales. En particular, en la evaluación denominada TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study), Singapur obtuvo el mayor puntaje en los años 1995, 1999 y 2003. Esto hizo que los Estados Unidos de América voltearan a ver el curriculum escolar de Singapur.
Y uno de los rasgos de la educación de ese país que los americanos descubrieron es su sistematicidad en enseñar y usar el modo diagramático de razonar en matemáticas. (Ver http://www.moe.gov.sg/media/press/2004/pr20041214.htm [2])
Consideremos el siguiente ejemplo de un problema verbal y la manera en que se enseña a resolverlo en Singapur (eliminé el contexto para que el problema quedara en estado puro):
(El Problema) La suma de tres números $D, E, F$ es 51. Si $E$ es el doble que $F$ y $D$ es 15 unidades mayor que $F$ ¿cuáles son esos números?
(La solución) El primer paso es darse cuenta que las condiciones segunda y tercera apuntan a $F$. Para que los niños logren ver esa dependencia, el método Singapur (llamémoslo así como un reconocimiento a su excelente iniciativa) enseña a los niños un diagrama muy elemental pero que tiene la ventaja de organizar la información del enunciado:
El segundo paso es concluir que $F$ puede tomarse como "unidad" (o bien asignarle un valor $x$, si se trata de niños de secundaria). Si se quiere aplicar álgebra (o casi álgebra) el diagrama de flechas se completa así:
Y la ecuación correspondiente a la primera condición se resuelve de la manera usual: $4x+15=51$, es decir, $4x=36$ o $x=9$, etc. (Notemos que la forma usual de plantear el problema resulta en un sistema de 3x3, aunque muy fácil de resolver. En el método Singapur, el álgebra es apoyada por el diagrama.)
Para niños de primaria, el diagrama de flechas mostrado arriba da lugar a otro diagrama (que es ya casi álgebra):
Con este diagrama es muy fácil para los niños ver la solución: cuatro barras más 15 unidades es 51, etc. (Bueno, posiblemente no sea tan fácil para los niños aprender a construir y después a interpretar estos diagrama. Posiblemente un tercer paso sea usar el diagrama para llegar al valor de un bloque y un cuarto podría consistir en regresar sobre los pasos para obtener la solución completa.
No conozco los detalles del método didáctico, pero me imagino que hay sesiones completas para cada paso, con ejercicios para hacer el diagrama de dependencia y después ejercicios para crear el diagrama de bloques, etc. Lo que sí es claro es que no se necesita ninguna tesis doctoral para pronosticar que si los niños aprenden (como lo hacen) el método de los bloques en la primaria, y en la secundaria apoyan con diagramas sus primeros pasos en el álgebra, a los 14 años ya dominarían muy bien la simbolización y la resolución de ecuaciones. (Porque los diagramas son andamios, es decir, construcciones provisionales; no se trata de que los diagramas sustituyan al álgebra sino de que les ayuden a aprender álgebra.)
Notemos finalmente que el problema verbal que hemos tomado de ejemplo es una clase muy específica: da lugar a una ecuación lineal de la forma $ax+bx+cx=d$. Pero presumiblemente, para otra clase de problemas verbales, el método diagramático de Singapur sólo requiera modificaciones menores.
Para finalizar les presento una solución diagramática del problema clásico Conejos y Gallinas:
(El problema) En el corral hay conejos y gallinas. Son 15 cabezas y 44 patas. Determinar el número de conejos y gallinas en el corral.
(La solución diagramática) Representemos el número de patas de los conejos como el área de un rectángulo de 4 unidades de altura (las patas) y de base desconocida; de la misma manera el número de patas de las gallinas es el área de un rectángulo de altura 2 y base desconocida. Si yuxtaponemos los dos rectángulos queda una figura como la siguiente:
Razonando sobre el diagrama se podría generar un argumento como el siguiente: "mhh, bueno, es claro que el área del rectángulo de la base es 15(2)=30 patas; pero son 44... ah, pues ya está: el área del rectángulo superior es 14 patas; es decir, son 7 conejos... y bueno... ahora se puede calcular el número de gallinas... mhh... son 15-7=8 gallinas." (Nota: con el diagrama se puede generar el argumento mucho más elaborado --y muy conocido y asombroso también-- que consiste en decir: paramos de manos a todos los conejos; tenemos entonces 30 patas pisando el suelo; las manos de los conejos --las que están levantadas-- son entonces 14; es decir, son 7 conejos; y bueno, las gallinas son... hagan ustedes las cuentas...")
Notemos que lo que está por detrás de la interpretación del diagrama es saber ver el área de un rectángulo como el producto de dos números: una correspondencia que ya usaban los griegos de la antigüedad. Pero para que esta correspondencia tenga alguna utilidad en la transición de la aritmética al álgebra (para que no se quede en una mera curiosidad lúdica) hay que destacarla y ponerla a funcionar en problemas como éste y con muchos ejercicios.
Si denotamos con $c$ el número de conejos y con $g$ el de gallinas, entonces el número de patas de conejo es $4c$ y el de gallinas es $2g$; cada uno de estos términos es un rectángulo. Y si ahora los yuxtaponemos, se tendría $4c+2g=44$, con $c+g=15$. Es decir, viendo el diagrama de los dos rectángulos yuxtapuestos también hay que ver que es un sistema de ecuaciones: "ves el diagrama y ves áreas; lo traduces en tu mente (lo interpretas) y ves ecuaciones..."
No sé qué efecto de aprendizaje pueda tener usar el método diagramático de manera aislada y fuera del curriculum. No se descartaría la posibilidad de que si un profe entre 1000 lo utilizara, podría ganarse de sus alumnos el mote de "el loquito". Es el efecto del medio ambiente. Pero como en Singapur todos los profes están obligados a ser loquitos, pues ya no son loquitos sino que son buenos profesores de matemáticas --en el estándar de calidad profesional de su país...
Y al decir esto, esta delegación hace conciencia de que, al trabajar en los márgenes del curriculum de las matemáticas escolares, posiblemente ya se haya ganado el mote de "loquita"... Nos salva un poco el hecho de que trabajamos con la Sociedad Matemática Mexicana...
Los saluda
jmd
PD: Como se habrán dado cuenta, he puesto varios problemas verbales (chicas barbie [3], bellezas maduras [4], el cuerudo [5], chico fresa [6], etc.) en atención a los adolescentes de secundaria y para dar cierto contexto para el Concurso Ciudades. Son problemas clásicos en contexto actualizado según el talante del que esto escribe. El lector puede comparar el problema "chicas barbie" [3] con el "método sui generis" [7] --el cual apareció en ciudades-- y constatar que tienen exactamente la misma estructura (de hecho es el mismo problema). Pero ya pasó ciudades, y sigue el regional. Y éste requiere subirle un poquito el nivel... es decir, en los problemas verbales ya no insistiré por este año... a menos que se me ocurra un contexto interesante para un problema verbal clásico, a tal grado que me sea imposible no ponerlo en este sitio...