Es un hecho conocido que la geometría es un tema desairado en las matemáticas escolares. Pues si bien es cierto que está incluido en los programas, también es evidente que es la convidada de piedra, en la fiesta de la enseñanza de las matemáticas.
Geometría, convidada de piedra (y la movida ENLACE)
Es decir, la geometría es una invitada de compromiso, y sus "opiniones" o bien están implícitamente vetadas o bien son ignoradas sin más. (Como una estatua: muda, quieta y grave --así define la Real Academia Española al convidado de piedra.) Y hay seguramente muchas razones para ello. Una de ellas es que es difícil de enseñar.
Pero he aquí que el examen ENLACE le ha devuelto a la geometría su visibilidad, y los profes y administradores educativos deben ahora escuchar y tomar en cuenta sus verdades. Si bien su resurrección se ha dado a través de la trigonometría, un tema aparentemente más avanzado que la geometría clásica.
Y con esta jugada (a mi parecer una genialidad de ingeniería en política educativa) ENLACE nos ha dado una lección en didáctica de las matemáticas. Porque, a pesar de que la trigonometría es, en cierto sentido, más avanzada que la geometría, la verdad es que es más fácil de enseñar.
Primero trigonometría --el resto como ejercicio autodidacta
Pero sobre todo más fácil de "naturalizar" en las mentes de nuestros estudiantes. Es decir, es mucho más fácil que un adolescente acepte como "natural" (como algo que siempre ha sido así) las leyes de senos y cosenos que, por ejemplo, el teorema de Thales.
Y quizá más importante, en un sentido de sustentabilidad (para usar el conocido término ecológico), con la trigonometría uno le puede dar la vuelta a los trazos auxiliares y a toda la cadena de inferencias y deducciones que requiere la solución euclideana de un problema geométrico. Un conjunto de competencias y habilidades que se pueden dejar para los más dotados y aficionados a las matemáticas de concurso.
Porque, a pesar de que el razonamiento lógico y los procesos de inferencia son competencias que todo adolescente debería adquirir en la escuela, esas competencias son muy difíciles de enseñar (y de aprender) y, por razones pragmáticas, deberían permanecer invisibles para la mayoría de los estudiantes.
Me explico. Las razones pragmáticas consistirían en que si la expectativa de aprendizaje de esas competencias es que solamente un porcentaje pequeño de los adolescentes (y de los profes) terminan por adquirirlas (con un esfuerzo individual considerable, hay que decirlo), entonces es mejor abandonar el objetivo de enseñarlas de manera compulsiva, y optar más bien por enseñarlas de otra forma --quizá como actividad extracurricular.
Pero no me estoy refiriendo aquí a una solución como la de la reforma del 93 en secundarias (la reforma Zedillo), la cual eliminó por razones pragmáticas la lógica y la teoría de conjuntos en el curriculum de secundaria (si ni los profes le entienden entonces ¿qué caso tiene que se mantenga en los programas?).
Me estoy refiriendo más bien a enseñar esas competencias de razonamiento que requiere la geometría, a la manera de la figura de retórica denominada alusión. Es decir, enseñarlas de tal manera que, en el discurso didáctico, queden en un segundo plano, como signos invisibles para la mayoría.
(Y solamente dos o tres alumnos se acercarán al profesor al final de la clase para preguntar sobre un detalle de la demostracón de Thales --para ellos los signos de la geometría sí se hicieron visibles, la alusión ha cumplido su papel.)
Creo que la forma en que ENLACE ha restablecido la legitimidad de la geometría va en ese sentido (de enseñar el razonamiento geométrico de manera alusiva). Enseguida les presento dos problemas de geometría del examen ENLACE Bachillerato 2010. (Aunque hay que decir que en ENLACE nada se tiene que demostrar ni argumentar pues se trata de un examen de opción múltiple. Eso les facilita la vida a los adolescentes.)
Pregunta 91, ENLACE Bachillerato 2010
Juan tiene que calcular el ángulo A que se forma entre la banqueta y el tirante del poste de luz frente a su escuela con los datos que se muestran en la figura. ¿Cuánto mide?
Consideraciones previas
El problema se puede resolver por sentido común o, como gustan de decir los estudiantes, "por lógica" (aunque el único problema con este enfoque es que cada quien tiene su "lógica"). Porque las opciones son 15, 30, 45, 60, y se "puede ver" que no es de 45 (obvio de la figura pues el poste no mide 4), etcétera.
La mejor apuesta es entonces que --con la imagen de la escuadra 30-60-90-- el ángulo pedido sea de 60. Notemos que, como en ENLACE las preguntas son de opción múltiple, nadie va a pedir una demostración.
Solución por trigonometría
Tenemos el adyacente y la hipotenusa ¿qué se debe inferir de aquí? Bueno, la inferencia inmediata es que el coseno del ángulo puede ser de alguna utilidad --si es que el adolescente se acuerda de las funciones trigonométricas básicas.
Y ¿qué tenemos? Tenemos que cosA=4/8=1/2. ¿Y ahora? Bueno pues hay que calcular la inversa. Pero eso es fácil --si el adolescente puede evocar el equilátero 2-2-2 partido por la mediana. Es decir, se trata de un ángulo de 60 grados.(Ver truco mnemónico en post relacionado [1].)
Solución euclideana
Tomando el punto simétrico (respecto al poste) de la base del tirante, se obtiene que la longitud desde el simétrico al original son 8 m, y se puede concluir que el triángulo formado con la punta del poste, el pie del tirante y su simétrico es equilátero (pues los triángulos simétricos respecto al poste son congruentes por LAL). Es decir, el ángulo en el pie del tirante es de 60 grados.
Comparación de las soluciones
Mientras que en la solución trigonométrica solamente hay que evocar la definición de coseno (una evocación que se activa directamente con los datos), y después la figura mnemónica del equilátero para coseno de 1/2 (al momento de obtener la inversa del coseno), en la solución euclideana el camino es relativamente largo y sinuoso (un trazo auxiliar evocando simetría, conocimiento de las propiedades del isósceles y el equilátero y congruencia de triángulos).
Entonces, desde el punto de vista de eficacia y eficiencia, y de gasto de recursos cognitivos, la solución trigonométrica es mejor. Y, dejando de lado la supuesta elegancia de las soluciones euclidianas --la cual suscribo--, lo cierto es que éstas requieren de un inventario de conocimientos incomparablemente mayor que el requerido en la solución trigonométrica.
Consideraciones cognitivas y pragmáticas (y un pronóstico)
Ahora bien, quien domina los usos de la geometría euclideana en resolución de problemas es también incomparablemente superior a quien solamente tiene la herramienta trigonométrica. Pues, además de su stock de conocimientos geométricos, está acostumbrado también a buscar las claves de la solución en el enunciado y a hacer inferencias a partir de ellos y de lo que va resultando de las inferencias subsecuentes.
Y, según creo, esa superioridad está más allá de la eficacia y satisface la aspiración de la educación de lograr que el adolescente adquiera la competencia de resolución de problemas (en general), haciendo concurrir en una situación problemática todos sus recursos cognitivos.
Pero el costo que se tiene que pagar para adquirir esa competencia es excesivamente alto para la mayoría de los adolescentes. Y también para los profesores y el sistema educativo todo. La solución pragmática y política a ese conflicto de intereses ha sido mantener a la geometría como convidada de piedra en el sistema educativo --para quien el significado real de geometría es "áreas y volúmenes".
El efecto pragmático de la movida de ENLACE de incluir la trigonometría en su examen, va a hacer que los profes y los administradores le den a la geometría el lugar que se merece. Pues los directores y jefes de academia ya no van a presionar a los profes para que le bajen al nivel en geometría (dado que está presente en los exámenes anuales de ENLACE y les conviene desde un punto de vista político).
E incluso van a presionarlos en sentido contrario --para que enseñen como debe ser la trigonometría (es decir, con miras al problema solving). Y bueno, una vez que el adolescente (y los profes) adquieran la competencia trigonométrica, habrá algunos que se interesen en la geometría euclidiana y la estudien por su cuenta.
Disclaimer
Bueno, ese sería el efecto a largo plazo si es que no hay una rebelión general de los estados de la república que opte --siguiendo el ejemplo de la UNAM-- por declinar aplicar el examen ENLACE. Esa es una posibilidad que está en el aire. Y si los estados se llegaran a preguntar ¿por qué a nosotros sí nos han exhibido y a la UNAM no? entonces el rechazo mexicano al examen ENLACE sería generalizado.
Pregunta 93, ENLACE Bachillerato 2010
El ángulo en C del triángulo ABC es de 45, el lado BC mide 15 y el lado AB mide $15\sqrt{2}$. Encontrar el ángulo A.
(En ENLACE Bachillerato 2010 se da la siguiente figura y se pide elegir entre 15, 30, 45 y 60 para la medida del ángulo A.)
Consideraciones preliminares
Aquí también hay una solución de sentido común. Porque el ángulo en A tiene que ser menor que 45 (se ve en la figura --pero también es obvio si se baja la perpendicular a BC desde A formando la mitad de un cuadrado). Ello elimina las opciones 45 y 60. Y si se elimina por puro feeling el 15, la mejor apuesta es el 30.
Solución trigonométrica
Aquí la conexión clave es la ley de senos y es activada (eso se espera) por los datos: dan un ángulo y la longitud de su lado opuesto, y otro lado y se pide su ángulo opuesto. Si se conoce la ley de senos eso es suficiente para traerla a presencia y probar si es suficiente para resolver el problema.
Y efectivamente es suficiente. Porque $15\sqrt{2}/sen45=15/senA$. Por supuesto que tambien hay que saber algo de álgebra y que $sen45=1/\sqrt{2}$. Con ello se logra ver que $senA=1/2$. Y falta obtener la inversa. Pero eso es fácil --si se hace el link con el triángulo equilátero (ver de nuevo el truco mnemónico [2] en un post relacionado). Es decir, el ángulo buscado tiene que ser de 30 grados.
Solución euclideana
Para la solución euclideana, el activador de la conexión clave es la raíz de 2 en $15\sqrt{2}$. Porque eso evoca la imagen de la mitad de un cuadrado (ver de nuevo mi post relacionado sobre trucos mnemónicos en trigonometría [2]). Es decir, uno no puede dejar de razonar algo asi como: "AB debe ser la hipotenusa de un isósceles rectángulo" Y esta idea detona la construcción auxilar de meter todo el triángulo en un cuadrado.
- Completemos un cuadrado de diagonal AC y uno de sus lados sobre BC (ver figura).
- Sobre la perpendicular a BC por el vértice C, tomemos F de tal manera que CB=CF.
- Entonces BF =BA (pues BF mide lo mismo que BA por Pitágoras)
- De aquí que ABF sea equilátero (pues AB=AF por simetría axial).
- Se concluye que el ángulo buscado es de 30 grados.
Comparación de las soluciones
De nuevo es fácil ver la eficiencia del enfoque trigonométrico. Los únicos recursos son el conocimiento de la ley de senos, algo de álgebra y las imágenes mnemónicas para las funciones trigonométricas básicas de ángulos típicos.
En cambio, la solución euclidiana requiere, en primer lugar, una construcción auxiliar --y eso es un obstáculo insalvable para la mayría. Si bien la construcción auxiliar en este caso es relativamente fácil de ver, en otros problemas es algo que simplemente no se nos ocurre.
Es decir, la solución euclidiana depende de una construcción auxiliar que se te tiene que ocurrir. O, puesto de otra manera, de agregar al problema un algo que no estaba ahí antes y que es creación del cognizador. ¿Y cómo se enseña y se aprende la cratividad?
He aquí el problema didáctico de la geometría euclidiana. Porque, aparte de hacer muchos problemas que requieran construcciones auxiliares, el método de enseñanza y de aprendizaje no es para nada claro --sobre todo no es claro si es por el mismo precio dirían los profes.
Un problema de pilón
En un cuadrado ABCD de lado 1, sean M, N los puntos medios respectivos de los lados BC y CD, y E la intersección de AN y DM. Encontrar el área del triángulo NDE.
Solución trigonométrica (en tres patadas)
Como se puede sospechar después de dibujar la figura, el ángulo NED es recto y el triángulo NED es rectángulo en E y semejante a los triángulos NAD y MDC. (Se deja como ejercicio para el lector el demostrarlo.)
Una vez viendo esta propiedad del triángulo NED, la trigonometría resuelve el problema en tres patadas. Para simplificar la notación llamemos $\theta$ al ángulo END y $z$ al lado NE.
Primera patada: $tan\theta=1/2 $ (focalizando el triángulo MCD).
Segunda patada: entonces $ED=2z$ (focalizando el triángulo NED).
Tercera patada: el área buscada es $z^2$
Bueno, había dicho tres pero falta una última patada --la cual la dará Pitágoras: focalizando el triángulo NED, es claro que $5z^2=1/4$; de ahí que el área buscada sea $z^2=1/20$
Los saluda
jmd
PD: Como ejercicio, el lector puede resolver la pregunta 131 de ENLACE Bachillerato 2010:
En un triángulo ABC, el lado BC mide 6 y los ángulos A y B, 45 y 30, respectivamente. Calcular la medida del lado CA.