En este libro hemos tratado de agrupar las construcciones básica con regla y compás propias de un primer curso de dibujo técnico.
No hemos querido hacer un aburrido libro con una lista de construcciones, así que decidimos agregar a cada construcción una animación que recree las trazos paso a paso, además de una explicación sobre cómo y porqué funcionan.
Esperamos que este libro sea de utilidad para muchos.
Los applets interactivos que muestran paso a paso las construcciones con regla y compás de este libro fueron desarrolladas con GeoGebra [1].
Las construcciones con regla y compas son aquellas que se pueden realizar usando únicamente estos dos instrumentos. Como todo mundo ya estamos familiariazados con ellos podríamos omitir su definición, sin embargo hay qué aclarar un par de cosas formales sobre estos objetos.
Asumiremos que nuestra regla no es graduada, lo que nada más nos va complicar las cosas, pero es como comúnmente se estudia esta teoría.
La regla es capaz de unir cualesquiera dos puntos y extender los extremos del segmento que los une tanto como se quiera.
Asumiremos que el compás puede hacer círculos tan pequeños o tan grandes como se quieran. Es decir, si doy un centro y otro punto, puedo trazar el círculo con ese centro y que pase por ese otro punto sin importar qué tan lejos estén uno del otro.
Una vez entendido esto, podemos ahora empezar a trazar figuras.
Esta es la construcción más básica de todas, de hecho, esta es la primera construcción que hace Euclides en sus elementos de geometría.
En la siguiente escena interactiva usa los botones ">>" y "<<" para ver paso a paso cómo se construye el triángulo equilátero [2] dado uno de sus lados.
Como el punto C se encuentra sobre ambas circunferencias, entonces la distancia de C a cada centro coincide con el radio, que es igual a AB. Por lo tanto, la ditancias CA y CB son iguales a AB, entonces, ABC es un triángulo equilátero [2].
Recordemos que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a este y que pasa por el punto medio.
Ahora bien, para localizarla usando regla y compás se sigue el siguiente procedimiento.
Explicación
Continuará
Esta construcción es algo complicada para ser creada por los alumnos pero es fácil de realizar. La explicación de por qué funciona requiere conocimientos de cuadriláteros cíclicos [3].
En la siguiente escena interactiva usa los botones ">>" y "<<" para ver paso a paso cómo se construyen las rectas tangentes a una circunferencia (de centro $O$) y que pasan por un punto dado (denotado con $A$).
Como $P$ se encuentra en una circunferencia cuyo diámetro es $AO$, entonces podemos aplicar la propiedad del ángulo inscrito en una semicircunferencia [5] y concluir que el ángulo $\angle OPA$ es recto. Por lo tanto, el radio $OP$ es perpendicular a la recta $PA$ y por consiguiente ésta es una tangente.
El mismo argumento aplica para el punto Q.
Enlaces:
[1] http://www.geogebra.org
[2] https://www.matetam.com/glosario/definicion/triangulo-equilatero
[3] https://www.matetam.com/glosario/definicion/cuadrilatero-ciclico-o-inscrito
[4] http://java.sun.com/getjava
[5] https://www.matetam.com/glosario/teorema/gbc-teorema-inscrito-una-semicircunferencia