Notemos que para $n=0$ la desigualdad se cumple. Notemos también que si $h$ es positivo, entonces $1+nh$ son los primeros dos términos de la expansión del binomio y el resto de términos son positivos, por lo que también se cumple la desigualdad para este caso. Para demostrarla en los restantes casos usaremos inducción:
Caso base: Si $n=0$ entonces $(1+h)^0=1=1+0$.
Hipótesis de inducción: la desigualdad es cierta para $n$
Paso inductivo:
Multiplicando por $1+h$ en ambos lados de $(1+h)^n\geq{1+nh}$ se tiene
$$(1+h)^{n+1}\geq{(1+nh)(1+h)}=1+(n+1)h+nh^2$$
Y la desigualdad se hace evidente para $n+1$ --pues $nh^2$ es un número positivo.
Nota: al multiplicar por $1+h$ el sentido de la desigualdad se mantiene porque $1+h$ es positivo.
