Resultados primer selectivo OMM Tam 2011

Muchas felicidades a todos :)

Lamentablemente no pude asistir al entrenamiento del pasado fin de semana debido a que el director de Mi escuela intuyo que por cuestiones del grito de la independencia iba a tornarse peligrosa una ida hacia alla. Sin embargo espero reincorporarme a los siguientes entrenamientos, me encuentro estudiando por mi cuenta y me tome la libertad de resolver los problemas que presentaron en el pasado selectivo. :)

PROBLEMA 1: Dos cuerdas AC y BD no cruzadas se trazan en un círculo. Si el ángulo CAD = 20 grados, y el ángulo ABD = 70 grados, encontrar la medida del ángulo CDA.

Tenemos que ABCD es un cíclico pues los 4 pts se encuentran sobre la circunferencia, como <ABD= 70º y usando la propiedad de que los angulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180º, tengo que <ACD= 110º. Como los angulos int. Del triangulo ACD suman 180º y puesto que ya tenemos por dato que el <CAD =20º , tengo que: <CDA= 180º-(<ACD+<CAD) = 180º-(110º+20º)= 180º-130º=50º

PROBLEMA 2: El radio de un círculo mide 5 unidades, AB es un diámetro y C es un
punto sobre la circunferencia de manera que CB mide 6 unidades. Encontrar la longitud de la cuerda AC.

Es fácil ver que el triangulo ABC es rectángulo, ya que el <ACB es inscrito y comparte la mismo arco del angulo central determinado por el diámetro que es de 180º, por lo que <ACB = 90º (la  mitad del central), Como tengo la long. De la hipotenusa de un cateto (BC) entonces por pitagoras AC= Raiz Cuadrada de (10^2-6 ^2)= Raiz Cuadrada de (100-36) = Raiz Cuadrada de 64= 8.

PROBLEMA 3: Encontrar la distancia entre los centros de dos círculos que se cortan el uno al otro, si sus radios son r y R, y la longitud de su cuerda común es a.

Llamemosle P al centro de la circunferenciade radio r y Q al centro de la circinferencia de radio R. AB la cuerda comun y N a la interseccion de AB con PQ. Tengo que PA= PB por ser radios de la circinferencia de radio r y QA=QB por la misma razon ( Son radios de la cirunferencia de radio R. Como P equidista a los extremos de AB, Tengo que PN es mediatriz  del lado AB y por ende tambien NQ pues N tambien equidista, al ser mediatriz produce que N sea punto medio de AB= a/2. Como PQ  (que es el que une los centros de ambas circunferencias) = PN+NQ. Como PQ es mediatriz tenemos varios triangulos rectangulos, asi que aplicando pitagoras a los triangulos: PAN y ANQ respectivamente, tenemos que PN= Raiz Cuadrada de (AP^2-(a/2)^2)= Raiz Cuadrada de (r^2-(a^2/4)).          NQ= Raiz Cuadrada de (R^2--(a^2/4)). Por lo que PQ=Raiz Cuadrada de (r^2-(a^2/4)) +Raiz Cuadrada de (R^2-(a^2/4)).

PROBLEMA 4: La diagonal AC de un cuadrilátero cíclico ABCD es bisectriz de los
ángulos BAD y BCD. Demostrar que AC es un diámetro del circuncírculo de ABCD.

Por ser la bisectriz <CAD=<CAB= "M" =1/2 <ABD   Y   <BCA=<ACD= "N"= 1/2<BCD. Por ser ciclico <ABD + <BCD= 180º= 2M+2N =====> M+N=90º. Basandonos en el triangulo ABC, y a que la suma de sus angulos interiores es de 180º tengo que 180º=<CAB+ <BCA+<ABC= M+N+<ABC   Como M+N=90º ======> 180º=90º+<ABC======> 90º=<ABC, Como <ABC es inscrito  eso implica que el arco AC sea igual a 180º por lo tanto eso produce que AC sea diametro.

PROBLEMA 5: En un cuadrilátero ABCD, los ángulos en B y D son rectos, y AB = BC.
Encontrar la medida del ángulo BDC.

Como son opuestos de 90º eso produce que ABCD sea ciclico, y como AB= BC eso produce que el triangulo ABC sea isosceles======> <BAC=<BCA y como <ABC= 90º y la suma de los 3 angulos es = a 180º ====> <BAC+<BCA=90º y como estos dos son iguales=====><BAC=<BCA =45º. Trazando la diagonal BD tengo que <BDC=<BAC=45º POR TENER EL MISMO ARCO por lo que <BDC=45º

PROBLEMA 6: Los puntos A,B,C,D, están sobre una circunferencia en ese orden. AD se prolonga hasta E. La bisectriz del ángulo ABC corta la circunferencia de nuevo en F. Demostrar que FD es bisectriz del ángulo CDE.

Tenemos que ABCD es ciclico ya que los 4 pts estan sobre la circunferencia, llamemosle "M" al <BAD, Como BF es bisectriz de ABC tenemos que <ABF=<FBC= "N"= 1/2<ABC. Llamemosle O a la interseccion de BF con AD tengo que <BOA=DOF="R" por ser opuesto por el vertice. Por tener el mismo arco : <BAD=<BFD= "M", Y   <ABF=<ADF= "N". Tenemos que por los triangulos ABO Y FOD que "M"+"N"+"R"= 180º (la suma de los angulos interiores de un triangulo es igual a 180º). Por ser ciclico sus angulos opuestos suman 180º Entonces <BAD+<BCD=180º y como <BAD= "M" esto produce que <BCD= "N"+"R" . Llamemosle "L" al <CDA tambien por propiedad de ciclicos  <ABC+<CDA=180º y como <ABC= 2N, entonces 2N+L=180º. Prolonguemos FD a el punto S. Como <ADF= "N" entonces el < SDE="N" (son opuestos por el vertice). Como A, D, y E son colineales por pertenecer a la misma recta=====> <ADE=180º, Pero <ADE=<ADC+<CDS+<SDE=180º , Tenemos que <ADE="L" y <SDE= "N" y teniendo que L+2N=180º====><CDS="N" por lo que <CDS=<SDE lo que hace que FS sea la bisectriz de <CDE Y POR ENDE TAMBIEN FD.

Problema 7: Demostrar que en un cuadrilátero cíclico las bisectrices de dos ángulos opuestos cortan a la circunferencia en los extremos de un diámetro.

Llamemosle a los extremos de las bisectrices "X" y "Z" y el cuadrilatero ciclico estara formado por los pts A,B,C,y D . Supongamos sin perdida de generalidad que las bisectrices son BX y DZ , Por ser bisectrices tenemos que: <ABX=<XBC=1/2ABC="N" y que <CDZ=<ZDA=1/2ADC="M". Por ser ciclico sus angulos opuestos suman 180º  asi que <ABC+<ADC= 180º= 2N+2M, por lo que N+M= 90º. A su vez <XAZ=<XAC+<CAZ. Por ser angulos inscritos y compartir el mismo arco tenemos que: <XAC=<XBC="N", y <CAZ=<CDZ="M". ,asi que <XAC+CAZ=N+M=90º, Es Decir <XAZ=90º. Como <XAZ es inscrito y su arco es XZ, usando la propiedad de que el angulo inscrito mide la mitad de su arco tengo que XY= 180º , Y esto solo puede suceder si XY es diametro.

Si tengo algun error agradeceria que me dijeran cual, saludos. :)