Dos personas A y B van a jugar un juego alternando turnos; A toma el primer turno. Para el juego está dibujada sobre un papel una cuadrícula de 7 × 7. En cada turno se borran algunos de los cuadritos como sigue: El jugador en turno escoge un cuadrito y borra toda la columna y el renglón a los que pertenece ese cuadrito dentro de la porción rectangular donde está en ese momento el cuadrito. Por ejemplo, si al principio A escoge
el cuadrito marcado con 1 en la figura (a) de abajo, a B le queda la figura (b) y, si él escoge el cuadrito marcado con 2, entonces para el siguiente turno a A le queda la figura (c).
En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.
Hallar todas las ternas (a,b,p) de números enteros positivos con p primo que satisfacen
ap = b! + p
Se va a lanzar al mismo tiempo un dado con los números del 1 al 6 y una moneda con los números 1 y 2. ¿Cuál es la probabilidad que la multiplicación de los números que caigan en la moneda y el dado sea un número impar?
La siguiente figura está formada por 6 triángulos iguales de lado igual al doble del lado del hexágono central. ¿Qué fracción de la figura completa representa el hexágono central?
El siguiente cuadrado tenía los números del 1 al 9 escritos en él, pero se manchó con catsup y ahora se ve así. Por suerte sabemos que la suma de los vecinos del 9 era 15. ¿Cuál es la suma de los vecinos del 8?
Nota: Dos números se consideran vecinos si los cuadrados en los que están escritos comparten un lado.
Encuentra la suma de los números primos que dividen a todos los números de 3 dígitos con todos ellos iguales.
En una escuela hubo un torneo de Ping Pong. La escuela cuenta con 2 mesas para jugar y en total hubo 6 partidos. Los partidos duraron 8, 10, 12, 17, 21 y 22 minutos y es posible comenzar un partido justo al terminar el anterior. Si el torneo comenzó a las 9:00 de la mañana, ¿a qué hora es lo más temprano que pudo terminar el torneo?
Claudia escribe una lista de sus 11 números favoritos más pequeños. El primero es el 5 y el tercero es 13, además, se dió cuenta que todos los números excepto el primero y el último resultan ser el promedio de los dos números que tiene a lado. ¿Cuál es el último número de su lista?
El área total del siguiente octágono es de 2022 cm2, ¿cuál es el área de la región sombreada?
En una fecha escrita de la forma aa/mm/yy o a/m/yy se multiplican los digitos usados para escribirlas, por ejemplo 24/12/22 da 2x4x1x2x2x2=64 o 5/8/22 da 5x8x2x2=160. ¿Cuántas fechas de la década de los 2020's cumplen que la multiplicación de los dígitos da 120?
Un suelo se va a llenar con mosaicos como el siguiente, formado por mosaicos cafés más pequeños como los mostrados en la figura. El área blanca se llenará con mosaicos azules del mismo tamaño que el café. Al llenarse todo el suelo se utilizaron 192 cafés, ¿cuántos mosaicos azules fueron necesarios?
Se van a construir piezas rectangulares de área 240 cm2 y con ambos lados entero. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?
Sobre los lados de un cuadrado de 20 x 20 cm se dibujan cuadrados de 5 x 5 cm como se muestra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?
Pancho hizo una hilera con 7 fichas de dominó de manera que los lados con el mismo número de puntos quedaron uno al lado del otro. Originalmente la hilera tenía un total de 33 puntos, pero el hermanito de Pancho se llevó dos de las fichas. ¿Qué cantidad de puntos había en el lugar que señala la flecha en la figura?
Sobre un tablero de ajedrez infinito se juega de la siguiente manera:
Al principio hay $n^2$ fichas dispuestas sobre el tablero en un cuadrado de $n\times n$ de casillas adyacentes, con una ficha en cada casilla. Cada jugada es un salto de una ficha en dirección horizontal o vertical sobre una casilla adyacente, ocupada por otra, hasta una no ocupada, contigua a ella. La ficha sobre la que se ha saltado se retira. Halle los valores de $n$ para los que el juego puede terminar quedando una única ficha en el tablero.
Determina todos los conjuntos no vacíos $C_1, C_2, C_3, \dots$, tales que cada uno de ellos tiene un número finito de elementos y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente propiedad: Para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$, la cantidad de enteros positivos en el conjunto $C_m$ más la cantidad de enteros positivos en $C_n$ es igual a la suma de los elementos en el conjunto $C_{m+n}$.
Nota: Al denotar con $|C_k|$ la cantidad de elementos de $C_k$ y con $S_k$ la suma de los elementos de $C_k$, la condición del problema es que para $m$ , $n$ enteros positivos se cumple
$$|C_n|+|C_m| = S_{m+n}$$