Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:
$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$ $$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$
Nota: $a | b$ quiere decir que el número entero $a$ divide al número entero $b$.
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto en $AC$ tal que $\angle COF = \angle ACB$, donde $F$ y $B$ están de lados opuestos respecto a $CO$. La recta $FO$ corta a $BC$ en $G$. La paralela a $BC$ por $A$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $M$. Las rectas $MG$ y $CO$ se cortan en $K$. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $BGK$ y $AOK$ concurren en $AB$.
Dada una colección de varias fichas que pueden ser negras o blancas y que tienen, cada una, un número escrito en ellas, un mago hace el siguiente movimiento: Toca 2 de las fichas con distinto número y color, y la de número menor se convierte en una ficha idéntica a la otra.
Sea $n$ un entero mayor o igual a 2. Para cada uno de los movimientos del 1 al $n$, el mago pone en la mesa una ficha negra o blanca con ese número. Luego hace su $movimiento$ para ir modificando la colección.
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Si $M, N, K$ son los puntos medios de los segmentos $AB$, $BC$ y $CD$ respectivamente, y además existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que, $\angle BPN = \angle PAD$ y $\angle CPN = \angle PDA$. Demuestra que $AB \cdot CD$ = $4PM \cdot PK$
Los números del 1 al 2000 se encuentran colocados sobre los vértices de un polígono regular de 2000 lados, uno en cada vértice, de manera que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros $A, B, C, D$ cumplen que $1\leq A < B < C < D \leq 2000$, entonces el segmento que une los vértices donde están los números $A$ y $B$ y el segmento que une los vértices donde están $C$ y $D$ no se intersectan en el interior del polígono. Demuestra que existe un entero positivo que es un cuadrado perfecto tal que el número diametralmente opuesto a él no es un número cuadrado perfecto.
Encuentra todos los números de 4 dígitos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos es igual al doble de la suma de sus dígitos.
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. La perpendicular a $MH$ por $H$ corta a $AB$ en $L$ y a $AC$ en $N$. Demuestra que $LH=HN$.
NOTA: El ortocentro es la intersección de las alturas del triáungulo.
Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus 3 ángulos agudos.
Cada diagonal de un polígono regular de 2024 lados se va a pintar con un color, de manera que dos diagonales que se intersecten dentro del polígono sean de distinto color. ¿Cuál es el mínimo número de colores necesarios para cumplir esta tarea?
Determina todas las parejas de enteros positivos $(p, k)$ con $p$ un número primo tales que:
$p^k-k^p=9k$
Se escojen 3 puntos diferentes en un circulo ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por esos puntos contega el centro del círculo?
Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1$, $B_1$ y $C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1$ = $A_1C$, $CB_1$ = $B_1A$, $AC_1$ = $C_1B$ y <$BA_1C$ + <$CB_1A$ + <$AC_1B$ = 480°.
Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$, y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$.
Demuestra que si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.
NOTA: un triángulo escaleno tiene sus 3 longitudes de lados distintos.
Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en 1 + 2 + ... + $n$ círculos iguales acomodados en forma de triángulo equilátero de modo que para cada $i$ = 1, 2, ..., $n$, la fila número $i$ contiene exactamente $i$ círculos, de los cuales exactamente uno de ellos se pinta de rojo. Un camino ninja en un triángulo japoné es una sucesión de $n$ círculos que comienza en el círculo de la fila superior y termina en el círculo de la fila inferior, pasando sucesivamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él.
Sean $x_1$, $x_2$, ..., $x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que
$a_n$ = $\sqrt{(x_1 + x_2 + ... + x_n)(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n})}$
es entero para todo $n$ = 1, 2, ..., 2023. Demuestra que $a_{2023} \geq 3034$.
Para cada entero $k \geq 2$, determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ para los cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + ... + c_1x + c_0$, con $c_0, c_1, \dots , c_{k-1}$ enteros no negativos, tal que
$P(a_n) = a_{n+1}a_{n+2} \cdots a_{n+k}$
para todo $n \geq 1$
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$. Sea Ω el circuncírculo de ABC. Sea S el punto medio del arco $CB$ de Ω que contiene a A. La perpendicular por $A$ por $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a Ω de nuevo en E ≠ A. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea ω el circuncírculo del triángulo $BDL$. Las circunferencias ω y Ω se cortan de nuevo en P ≠ B. Demuestra que la recta tangente a ω en P corta a la recta BS en un punto de la bisectriz interior del ángulo <$BAC$.
Determina todos los enteros compuestos $n >1$ que satisfacen la siguiente propiedad:
Si $d_1, d_2, \dots, d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2< \cdots< d_k = n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para cada $1 \leq i \leq k-2$.
Se tienen nueve palitos de madera: tres azules de longitud $a$ cada uno, tres rojos de longitud $r$ cada uno y tres verdes de longitud $v$ cada uno, tales que es posible formar un triángulo $T$ con palitos de colores distintos.
Dana puede formar dos arreglos, comenzando con $T$ y utilizando los otros seis palitos para prolongar los lados de $T$, como se muestra en la figura. De esta manera se pueden formar dos hexágonos cuyos vértices son los extremos de dichos seis palitos. Demuestra que ambos hexágonos tienen la misma área.
Supongamos que $a$ y $b$ son dos números reales tales que $0 < a < b <1$. Sean :
\[x = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a+b}}, \quad y = \frac{1}{b-a} - \frac{1}{b} \quad \textrm{y} \quad z =\frac{1}{\sqrt{b-a}} - \frac{1}{\sqrt{b}} \]Muestra que $x$, $y$ y $z$ quedan siempre ordenados de menor a mayor de la misma manera, independientemente de la elección de $a$ y $b$. Encuentra dicho orden entre $x$, $y$ y $z$.
Alka encuentra escrito en un pizarrón un número $n$ que termina en 5. Realiza una secuencia de operaciones con el número en el pizarrón. En cada paso decide realizar una de las dos operaciones siguientes:
Alka realiza cada una de las operaciones un número par de veces en algún orden y al menos una vez, y obtiene finalmente el número $r$. Si las cifras de las decenas de $r$ es un número impar, encuentra todos los valores posibles que la cifra de las decenas de $n^3$ pudo haber tenido.
Mía tiene dos palitos verdes de 3cm cada uno, dos palitos azules de 4cm cada uno y dos palitos rojos de 5cm cada uno. Mía quiere formar un triángulo utilizando los seis palitos como su perímetro; todos a la vez y sin encimarlos, ni doblarlos o romperlos. ¿Cuántos triángulos no croncruentes puede formar?
Nota: Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen las mismas medidas. No importa el orden en que los palitos se usen para formar los lados, sólo la medida de los lados formados.