Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Cuadritos unitarios distanciados

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 16:42.

Considera un tablero de $n \times n$, con $n \geq 5$. Dos cuadritos unitarios se dice que son distanciados  si no se encuentran en el mismo renglón ni en renglones consecutivos y tampoco en la misma columna ni en columnas consecutivas. Se toman 3 rectángulos con vértices y lados  sobre los puntos y lineas del tablero de manera que si dos cuadritos unitarios pertencen a distintos rectángulos entonces son distanciados . ¿De cuántas maneras es posible hacer esto?

Problema

Cíclico dentro de un isóceles

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 16:36.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ de gravicentro $G$. $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente y $O$ el circuncentro del trángulo $BCN$. Muestra que $MBOG$ es un cuadrilátero cíclico.

Problema

Suma de cubos igual a 2016

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 16:33.

Determina si existen alguna terna de enteros no negativos, no necesariamente distintos, $(a,b,c)$ tales que:

$$a^3 + b^3 + c^3 =2016$$ 

Problema

$n$ y $n^2$ con misma terminación. Selectivo 2016

Enviado por Orlandocho el 28 de Agosto de 2016 - 13:59.

Encuentra todos los números naturales $n$ de tres dígitos que son iguales al número formado por los tres últimos dígitos de $n^2$.

Problema

Geometría del Primer Selectivo 2016

Enviado por Orlandocho el 28 de Agosto de 2016 - 13:53.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $E$ y $F$ puntos sobre la recta $AB$ pero fuera del segmento $AB$ con $A$ entre $E$ y $B$ y $B$ entre $A$ y $F$. Demuestra que si $\angle  BED = \angle AFC = \angle DAC$ entonces $EA=BF$.

Problema

Álgebra del Primer Selectivo 2016

Enviado por Orlandocho el 28 de Agosto de 2016 - 13:49.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $m$ y $n$ tales que $$(m^2+n)(m+n^2)=(m+n)^3.$$

Problema

Triángulos Tranquilos

Enviado por German Puga el 1 de Agosto de 2016 - 17:40.

Considera un tablero cuadrículado de manera regular cuya área es $N$. Al colocar un triángulo no degenerado dentro de él (que puede quedar en los bordes) decimos que es tranquilo, si cada vértice coincide con algún vértice de los cuadritos unitarios interiores, además si uno de sus lados es paralelo a algún lado del tablero. Supón que se han colocado $N+1$ triángulos tranquilos, muestra que hay dos con la misma área.

Problema

Problema 6 - IMO 2016 - Malfalda silba y las ranas saltan

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 22:57.

Se tienen $n \geq 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersecan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n -1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

Problema

Problema 5 - IMO 2016 - Quita términos lineales de ambos lados

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 22:52.

 En la pizarra está escrita la ecuación $$(x - 1)(x - 2)\cdots (x - 2016) = (x -1)(x- 2)\cdots (x-2016)$$ que tiene 2016 factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos 4032 factores lineal, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

Problema

Problema 4 - IMO 2016 - Conjunto de enteros fragantes

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 22:42.

Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si tiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de elementos restantes. Sea $P(n) = n^2 + n + 1$.  Determinar el menor número entero positivo $b$ para el cual existe algún número entero no negativo $a$ tal que el conjunto $$\{P(a+1), P(a+2), \dots,  P(a + b)\}$$ es fragante.

Problema

Problema 3 - IMO 2016 - Área de un polígono cíclico de coordenadas enteras.

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 15:06.

Sea $P=A_1A_2 \dots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \dots, A_k $ tienen coordenadas enteras y están sobre un círculo. Sea $\mathcal{S}$ el área de $P$. Los cuadrados de las los lados de $P$ son todos divisibles por un entero dado $n$. Demuestra que $2\mathcal{S}$ es divisible por $n$,

Traducido del inglés.

Problema

Problema 2 - IMO 2016 - Las letras de IMO en un tablero

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 12:42.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero de $n \times n$ puede escribir una de las letras $I$, $M$ y $O$ de manera que:

Problema

Problema 1 - IMO 2016 - Concurrencia de rectas

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 12:21.

El triángulo $BCF$  tiene ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA = FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ está elegido de tal manera que $DA= DC$ y $AC$ es la bisectríz de $\angle DAB$. El punto $E$ es tal que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectríz de $\angle EAC$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (donde $AM \parallel EX$ y $AE \parallel MX$). Demuestra que las líneas $BD$, $FX$ y $ME$ son concurrentes.

Traducido del inglés.

Problema

¿Seguro que sabes contar?

Enviado por German Puga el 3 de Julio de 2016 - 14:05.

En un concurso de Matemáticas hay 20 participantes, alumnos de Primaria, Secundaria y Bachillerato que se sentarán en una mesa redonda. Hay igual cantidad de alumnos de Secundaria que de Bachillerato. Ya sentados se dividirán en dos equipos con cantidad par de alumnos sentados uno junto a otro (es decir, se pueden tomar de la mano todos los miembros del equipo y formarán una sola cadena). Ellos se dieron cuenta que no importa cómo se formen esos equipos, siempre habrá uno con más alumnos de Secundaria que de Bachillerato. ¿Cuántos alumnos de Primaria hay?

Problema

Circunferencia tangente a un cateto

Enviado por German Puga el 3 de Julio de 2016 - 13:55.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC=90$, $BC=72$, $AC=78$. Se considera un punto $D$ sobre el lado $AB$ de tal modo que $2AD=BD$. Sea $O$ el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $A$ y $D$ y es tangente al lado $BC$. Encuentra la medida del segmento $OB$.

Problema

Las monedas de Ingrid

Enviado por German Puga el 3 de Julio de 2016 - 13:52.
Ingrid donará $N$ monedas de oro en el año a dos fundaciones protectoras de animales, llamadas $A$ y $B$. Al principio todas las monedas las destinará a $A$. Cada día observa si la cantidad de monedas que tiene $A$ en ese momento es múltiplo de la cantidad de días transcurridos desde que inició la donación, de cumplirse eso, pasa una moneda de $A$ a $B$. El reparto termina cuando la cantidad de días transcurridos es más que la mitad de monedas que tenga $A$.
Problema

Tres triángulos que no se cortan

Enviado por German Puga el 3 de Julio de 2016 - 13:35.

Considera 9 puntos sobre una circunferencia. ¿De cuántas maneras puedes dibujar 3 triángulos con vértices en estos 9 puntos, pero que no compartan vértices, de forma que ningún par de triángulos se corten?

Problema

Un dominó binario y marciano

Enviado por German Puga el 3 de Junio de 2016 - 18:46.

 Un dominó binario y marciano tiene fichas con un cero de un lado, y un uno del otro. Tenemos 6 fichas azules (las seis iguales), una roja y una verde. ¿De cuántas formas podemos hacer una fila con las ocho fichas si no debe haber dos fichas seguidas con cero juntos, pero sí puede haber dos unos seguidos, un cero seguido de un uno y un uno seguido de un cero?

Problema

Medida de segmento para área 2016

Enviado por German Puga el 3 de Junio de 2016 - 18:37.
$ABCD$ es un cuadrado de área 7056. $E$ es un punto sobre el lado $CD$ y $F$ es el punto medio de $AE$. ¿Cuánto debería medir el segmento $EC$ para que el área del cuadrilátero $FECB$ sea 2016?
 
Problema

Números chidos

Enviado por German Puga el 3 de Junio de 2016 - 18:23.

Un número de tres cifras $abc$ es chido si:

  • Todas sus cifras son distintas y mayores a uno.
  • Las fracciones $ \frac{bc}{a}, \frac{ac}{b} $ y $ \frac{ba}{c}$ son enteros.

a) ¿Cuál es el número chido más grande? 

b) ¿Qué números chidos tienen la misma cifra en las centenas que el número encontrado en el inciso anterior?