Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
El capicúa más cercano
Una sucesión de números mayores que 0 comienza con cualquier número y el siguiente será la resta entre el número anterior y el número capicúa más cercano que sea menor o igual al número. Por ejemplo $$ 2016 \rightarrow 14 \rightarrow 3 \rightarrow 0$$ Se observa que 14=2016 - 2002 ; 3 = 14 - 11 y 0 = 3 - 3. La sucesión termina cuando se llega a cero, en el ejemplo la sucesión tuvo cuatro términos ¿Cuál es el número más pequeño con el que puede iniciar la sucesión para que tenga exactamente 5 términos?
Elección de gatos de colores
En un barrio hay gatos de colores. Hay 15 rojos, 18 amarillos y 21 azules. En cada grupo de gatos de colores 2/3 son machos. ¿De cuántas maneras puedes tomar dos gatos del mismo color y el mismo sexo?
Juego de cartas con puntos de ataque
En un juego de cartas, cada una tiene un puntaje en defensa y ataque que cumple:
- Los puntajes son un número entero mayor que 0.
- Su puntaje en defensa es mayor al ataque.
- No hay dos cartas con el mismo ataque y la misma defensa.
Una carta A le gana a otra carta B si el ataque de A es mayor a la defensa de B. El poder de la carta es la cantidad de cartas a las que le gana. Tengo una carta cuya suma de puntajes de defensa y ataque es 50, ¿cuál es el máximo poder que podría tener esa carta?
Caminando en una escalera electríca
Una escalera eléctrica tarda 60 segundos en llevar a una persona del primer al segundo piso, la persona caminando tarda 90 segundos en subir esa misma escalera apagada. ¿Cuánto tarda esa persona en subir la escalera caminando y estando prendida?
La región complemento de dos hexágonos
En la siguiente figura tenemos dos hexágonos con sus lados iguales. El paralelogramo tiene área de 2016 u2 , ¿cuál es el área de la región sombreada?
Capacidad del estadio de futbol
Al inicio de un partido de futbol, al estadio estaba al 30% de capacidad, 30 minutos después había 3000 aficionados más que al inicio y al estadio le faltaba un 30% para llenarse, ¿cuál es la capacidad del estadio?
Coloreado de pentágono
Problema 1. En el pizarrón hay dibujado el siguiente pentágono. Paty tiene dos colores distintos, blanco y negro. ¿Cuántos pentágonos distintos podría obtener usando sus colores, teniendo en cuenta que va a pintar todas las regiones y que dos pentágonos son iguales si uno es resultado que girar el otro como los de la figura?
Uno sencillo de conteo
En la siguiente puntícula de $11\times11$ se van a formar triángulos isósceles de tal manera que su lado desigual esté sobre las líneas rosas. ¿Cuántos triángulos isoósceles se pueden formar?
Escalinata
Sea $\triangle ABC$ un trinagulo isósceles con $AC=CB, AB=7$ y altura $CD=9$. Los segmentos $a,b,c,d,e,f,g,h$ e $i$ son paralelos a $AB$ y dividen a $CD$ en $9$ segmentos iguales.
Encuentra $a+b+c+d+e+f+i$
El extraño caso del hexágono azul
En un cuadrado $ABCD$ de lado $60$. $E,F,G$ y $H$ son puntos medios de $AB,BC;CD$ y $DA$, respectivamente. Encuentra el área del hexágono $IJKLMN$.
¿Cuántos soluciones serán?
Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $3\cdot 2^a+1=b^2.$
Ni primo ni cuadrado
Muestra que el número $5n+3$ no es un cuadrado perfecto, con n entero positivo y que si $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados, entonces $5n+3$ no es primo.
Elemental de álgebra
Si $a^2 + a = 2b^2 + b = 50a - 49b$ ¿Cuanto es a+b?
Expresado como producto de tres
Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$ la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$, demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos).
La magia de los números primos
Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.
Muchos 1's
Muestra que para todo entero positivo n, primo relativo con 10 existen infinidad de múltiplos de n cuyos dígitos son solo unos.
Problema de Teoría de Números
Problema 6. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Problema 5. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.