Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Problema 3. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 24 de Noviembre de 2015 - 12:23.
Sea $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots \}$ el conjunto de los números enteros positivos. Sea $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función, la cual asigna a cada número entero positivo, un número entero positivo. Supón que $f$ satisface las siguientes condiciones:
  1. $f(1)=1$
  2. Para todos $a,b$ enteros positivos, se cumple que
    $$f(a+b+ab)=a+b+f(ab)$$
  3. .
Encuenta el valor de $f(2015)$
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Problema 2. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 24 de Noviembre de 2015 - 12:15.

Sean $n$ un entero positivo y $k$ un entero entre $1$ y $n$. Se tiene un tablero de $n \times n$ color blanco. Se hace el siguiente proceso. Se dibujan $k$ rectángulos con lados de longitud entera, con lados paralelos a los del tablero y tales que su esquina superior derecha coincide con la del tablero. Luego, estos $k$ rectángulos se rellenan de negro. Esto deja una figura blanca en el tablero. ¿Cuántas figuras blancas diferentes podemos obtener, que no se puedan obtener haciendo el proceso con menos de $k$ rectángulos?

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Problema 1. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 24 de Noviembre de 2015 - 12:08.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo $ABC$ considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.

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Problema 4(C)

Enviado por jmd el 30 de Agosto de 2015 - 09:55.

En una circunferencia se marcan 60 puntos, de los cuales 30 se colorean de rojo, 20 de azul y 10 de verde. La circunferencia queda así dividida en 60 arcos y a cada uno de ellos se les asigna un número de acuerdo a la siguiente regla:

--1 si une un punto rojo con uno verde
--2 si une un punto rojo con uno azul
--3 si une un punto azul con uno verde
--0 si une dos puntos del mismo color

¿Cuál es la mayor suma posible de los números asignados a los arcos? (Justifica tu respuesta.)

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Problema 3(G)

Enviado por jmd el 30 de Agosto de 2015 - 09:52.
Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq{AC}$. Sean $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro y $D$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ la intersección de $AO$ y $HD$. Demostrar que los triángulos $AHP$ y $ABC$ tienen el mismo baricentro.
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Problema 2(N)

Enviado por Roberto Alain R... el 29 de Agosto de 2015 - 20:25.

Para un entero positivo n denotamos con S(n) la suma de los dígitos y con U(n) el dígito de las unidades. Determinar todos los enteros positivos n con la propiedad de que n=S(n)+U(n)2  (Nota: Para n=324, S(n)=9 y U(n)=4.)

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Problema 1(A)

Enviado por Roberto Alain R... el 29 de Agosto de 2015 - 20:19.

Calcula el valor de n que cumpla la siguiente ecuación: $$\frac{1+3+5+...+2n-1}{2+4+6+...+2n} = \frac{2014}{2015}$$

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funciones

Enviado por elmopolaza el 27 de Julio de 2015 - 13:00.

Una empresa se encuentra desarrollando el presupuesto para sus proximos 5 años para dichos efectos la entidad sabe con base en su experiencia que los precios de ventas estan intimamente relacionados con el comportamiento de inflacion en Mexico, tambien se conoce que el precio de venta del año anterior es de $100 por unidad y la inflacion esperada para el año siguiente es de 3.8% y que crecera a su vez un 5% cada año  y que los volumenes de ventas se espera que permanezcan constantes en un millon de unidades.

Determine el funcion a utiliar

Cuales son las variables utilizadas y sus tipos

Respresente la ecuacion y de el resultdo

Año    Ingresos

2015

2016

2017

2018

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Problema 1 - IMO 2015 - Conjunto de puntos y mediatrices.

Enviado por jesus el 14 de Julio de 2015 - 18:26.

Decimos que un conjunto finito $\cal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\cal{S}$ hay un punto $C$ en $\cal{S}$ tal que $AC = BC$. Decimos que $\cal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A$, $B$, $C$ en $\cal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\cal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.

  1. Demostrar que para todo $n \geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
  2. Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.
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Elemental de números --pero no trivial

Enviado por jmd el 20 de Junio de 2015 - 13:50.

Hay siete cajas numeradas del 1 al 7 y alineadas. Tú tienes 2015 tarjetas que colocas en las cajas de una por una. La primera tarjeta la colocas en la primera caja, la segunda en la segunda, hasta llegar a la séptima carta la cual colocas en la caja 7. En ese momento empiezas a colocar las tarjetas en la otra dirección colocando la carta 8 en la caja 6, la 9 en la 5, hasta llegar a la carta 13 que colocas en la caja 1. La tarjeta 14 la colocas entonces en la caja 2, y continuas así hasta que cada tarjeta haya sido distribuida. ¿En cuál caja se coloca la última tarjeta? (Justifica tu respuesta.)

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Necesario organizar en casos

Enviado por jmd el 20 de Junio de 2015 - 13:43.

¿Cuántos números de 6 dígitos son tales que

  • los dígitos de cada número son del conjunto $\{1,2,3,4,5\}$
  • cualquier dígito que aparece  en el número aparece al menos dos veces?

Ejemplo: 222133 no es admisible 

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Problema geométrico --no tan trivial

Enviado por jmd el 20 de Junio de 2015 - 13:38.

Sea ABCD un cuadrado unitario. Con en A y radio AB se traza el arco BD. De manera similar, con centro en B y radio BA, se traza el arco AC. Calcular el radio r del círculo $\gamma$ que es tangente a los arcos AC y BD y al lado AB del cuadrado unitario.

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Razonado elemental de números

Enviado por jmd el 20 de Junio de 2015 - 13:31.
Un número de dos cifras es tal que al restarle el producto de sus cifras el resultado es 17. Encontrarlo. 
 
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Problema 11

Enviado por Roberto Alain R... el 12 de Junio de 2015 - 00:42.

Tres cuadrados idénticos  $ABCD, AEFG, AHIJ$ (todos etiquetados en contra de las manecillas del reloj) tienen el vértice $A$ en común y los ángulos $JAB, DAE, GAH$ son iguales. Calcular el ángulo $GBH$

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Problema 10

Enviado por Roberto Alain R... el 11 de Junio de 2015 - 20:48.

En tierras muy lejanas había una mujer que tenía 9 hijos y los tuvo en intervalos regulares de 15 meses. El mayor de ellos tenía 6 veces la edad del menor. ¿Cuál era la edad del menor?

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Problema 9

Enviado por Roberto Alain R... el 11 de Junio de 2015 - 20:12.

Un polígono regular de $n$ lados es seccionado en dos partes mediante un solo corte recto. Una parte es un triángulo y la otra es un polígono de $m$ lados. ¿Cómo se relacionan $m$ y $n$ ?

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Problema 8

Enviado por Roberto Alain R... el 9 de Junio de 2015 - 01:22.

En una sucesión de 6 números, cada término después del segundo es la suma de los dos anteriores. Sabiendo que los 6 suman 13 y que el último término es cuatro veces el primero, calcula el primer término 

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Problema 7

Enviado por Roberto Alain R... el 9 de Junio de 2015 - 00:52.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ enteros positivos en los que se cumpla que $a/5 + b/7 = 31/35$

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Problema 6

Enviado por Roberto Alain R... el 9 de Junio de 2015 - 00:47.

180 multiplicado por un entero positivo $N$ resulta en un cubo perfecto (un número elevado al cubo). ¿Cuál es el mínimo valor posible de $N$ ?

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Problema 5

Enviado por Roberto Alain R... el 9 de Junio de 2015 - 00:24.

Ana tiene un número secreto de 6 dígitos con las siguientes características:

  • Clave 1: Es el mismo número al leerlo si se lee de derecha a izquierda.
  • Clave 2: Es múltiplo de 9.
  • Clave 3: Si se eliminan los dígitos extremos (el primero y el último) el número que resulta es múltiplo de 11 y solamente del 11.

¿Cuál es el número secreto de Ana?