Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Relaciones combinatorias

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 19:53.

Sean $r,n$ enteros no negativos tales que $r\leq{n}$.

a) Demostrar que $$\frac{n+1-2r}{n+1-r}C(n,r)$$ es un entero.

b) Demostrar que

$$ \sum_{r=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n+1-2r}{n+1-r}C(n.r)<2^{n-2}$$ para todo $n\geq 9$.
(Nota: $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que x, y $C(n,r)$ es el número de subconjuntos de tamaño r tomados de un conjunto de tamaño n.) 

Problema

Viaje redondo

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 15:20.

Air Michael y Air Patrick operan vuelos directos que conectan Belfast, Cork, Dublin, Galway, Limerick y Waterford. Para cada par de ciudades exactamente una de las aerolíneas opera la ruta (en ambos sentidos) conectando las ciudades.Demostrar que hay cuatro ciudades para las cuales una de las aerolíneas opera un viaje redondo. (Un viaje redondo para las ciudades P,Q,R,S es un viaje que va de P a Q, de Q a R, de R a S y de S a P.)

Problema

Senos cuadráticos

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 13:52.
Demostrar que un triángulo ABC es rectángulo si y sólo si 
$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2$$
Problema

Todos los primos tales que...

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 13:49.

Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que $p$ divide a $q+6$ y $q$ divide a $p+7$.

Problema

Una recta variable que pasa por un punto fijo

Enviado por jmd el 3 de Septiembre de 2014 - 13:40.

El punto P está fijo en una circunferencia y el punto Q está fijo en una recta. Un punto variable R se mueve sobre la circunferencia pero sin alinearse con P y Q. La circunferencia por P,Q y R corta a la recta de nuevo en V. Demostrar que la recta VR pasa por un punto fijo.

Problema

Líneas isogonales y circunferencias con centro en los lados.

Enviado por jesus el 26 de Julio de 2014 - 10:17.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo. Sea $H$ un punto sobre $BD$ tal que $AH$ y $AC$ son líneas isogonales (reflejadas en la bisectriz del ángulo en $A$).

Consideremos $\mathcal{C}_B$ y $\mathcal{C}_D$ las circunferencias con cuerda $HC$ y con sus respectivos centros en $AB$ y $AD$.

Llamemos $S$ y $P$ a la intersección de $\mathcal{C}_B$ con la recta $AB$; el vértice $A$ más cerca de $S$ que de $P$. Análogamente llamemos $T$ y $Q$ a la intersección de $\mathcal{C}_D$ con la recta $AD$; el vértice $A$ más cerca de $T$ que de $Q$. Entonces se satisfacen las siguiente propiedades

Problema

P6. IMO 2014 - Coloreado de rectas en posición general

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 11:30.

Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos que sean paralelas ni tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general separa el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas.

Demostrar que para cada $n$ suficientemente grande, en cualquier conjunto de $n$ rectas en posición general es posible colorear de azul al menos $\sqrt{n}$ de ellas de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga todos los lados de su frontera azules.

Problema

P5. IMO 2014 - Monedas fraccionarias

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 11:28.

Para cada entero positivo $n$, el Banco de Ciudad del Cabo produce monedas de valor $\frac{1}{n}$. Dada una colección finita de tales monedas (no necesariamente de distintos valores) cuyo valor total no supera $99 + \frac{1}{2}$, demostrar que es posible separar esta colección en 100 o menos montones, de modo que el valor total de cada montón sea como máximo 1.

Problema

P4. IMO 2014 - Concurrencia de dos rectas y una circunferencia

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 11:23.

Los puntos $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ de modo que $\angle PAB = \angle BCA$ y $\angle CAQ = \angle ABC$. Los puntos $M$ y $N$ están en las rectas $AP$ y $AQ$, respectivamente, de modo que $P$ es el punto medio de $AM$, y $Q$ es el punto medio de $AN$. Demostrar que las rectas $BM$ y $CN$ se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$

Problema

P3. IMO 2014 - Demuestra que es tangente

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 11:17.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. La perpendicular a $BD$ desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y son tales que $H$ está dentro del triángulo $SCT$ y
$$\angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ},\quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}$$.
Demostrar que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$.

Problema

P2. IMO 2014 - Configuraciones pacíficas en un tablero

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 11:13.

Sea $n \geq 2$ un entero. Consideremos un tablero de tamaño $n \times n$ formado por $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ fichas en este tablero se dice que es pacífica si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Halle el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ fichas, existe un cuadrado de tamaño $k \times k$ sin fichas en sus $k^2$ cuadrados unitarios.

Problema

P1. IMO 2014 - Sucesión Inifinita

Enviado por jesus el 9 de Julio de 2014 - 11:08.

Sea $a_0<a_1< a_2 < \cdots $ una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n \geq 1$ tal que $$a_n < \frac{a_0+a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq a_{n+1}$$

Problema

Números divertidos

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2014 - 17:37.

Un entero positivo n es divertido si para todo divisor positivo d de n, d+2 es un número primo. Encuentre todos los npumeros divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.

Problema

Equiláteros sobre un segmento

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2014 - 12:40.

Se marcan los puntos A, B, C, D sobre una recta, en ese orden, con AB y CD mayores que BC. Se construyen triángulos equiláteros APB, BCQ y CDR, con P, Q y R del mismo lado respecto a AD. Si el ángulo PQR mide 120 grados, pruebe que
$$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{BC}$$

Problema

1,5,13,25...

Enviado por Paola Ramírez el 13 de Junio de 2014 - 04:40.

Con cuadrados de lado 1 se forma en cada etapa una figura en forma de escalera siguiendo el patron del dibujo 

Por ejemplo, la primera etapa utiliza un cuadrado, la segunda utiliza 5. Determine la última etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.

Problema

Todo es cuestión de álgebra

Enviado por Paola Ramírez el 13 de Junio de 2014 - 04:25.

Sean $a,b,c$ y $d$ números todos distintos entre sí, tales que
$\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4$ y $ac=bd$

Determine el máximo valor de posible de
$\frac{a}{c} +\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}$

Problema

Así o más congruentes

Enviado por Paola Ramírez el 13 de Junio de 2014 - 04:17.

Sea  un trapecio $ABCD$ de bases $AB$  y $CD$ , inscrito en una circunferencia de radio $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $AD$ y $BC$ . Una circunferencia por $O$ y $P$  corta a los segmentos $BC$ y $AD$ en puntos interiores $F$ y $G$ respectivamente. Muestre que $BF=DG$ .

Problema

Números "tico"

Enviado por Paola Ramírez el 13 de Junio de 2014 - 04:06.

Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman 74. Verifique que 2014 es tico. ¿Cuál será el próximo año tico? ¿Cuál será el último año tico de la historia?

Problema

Inferencias con diofantina y clases residuales

Enviado por jmd el 1 de Junio de 2014 - 08:05.
4..A/N. Encontrar todas las parejas m,n de enteros no negativos que satisfacen
$3 \times 2^m + 1 = n^2$
Problema

r,r+p,r+2p primos , r=?

Enviado por jmd el 1 de Junio de 2014 - 08:02.

3.N. Encontrar todos los números primos que pueden escribirse como la diferenciade dos primos y como la suma de dos primos. (Nota: el 1 no es primo.)