Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Un problema guiado --de geometría

Enviado por jmd el 1 de Junio de 2014 - 07:58.

2.G. Sean ABC un triángulo isósceles con AB=AC, y P en AB y Q en AC puntostales que AP=CQ. Sea O la intersección de las mediatrices de PQ y AC.

a) Demostrar que APO y CQO son triángulos congruentes.
b) Demostrar que APOQ es un cuadrilátero cíclico.
c) Demostrar que AO es bisectriz del ángulo BAC.


(Nota: Para el inciso b puedes usar el resultado del a (sin demostración); para el cpuedes usar los resultados de a y b.)

Problema

¿Cuál fórmula? ¡Genera la lista!

Enviado por jmd el 1 de Junio de 2014 - 07:55.

1.C. ¿Cuántos números del 10 al 99 son tales que sus dígitos están en orden decreciente? Nota: 31 cumple pero no el 44 ni el 56.

Problema

Coeficientes y raíces en tres cuadráticas

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2014 - 11:18.

2.6. Considere las ecuaciones cuadráticas
\begin{eqnarray}
x^2-b_1x+c_1&=&0\\
x^2-b_2x+c_2&=&0\\
x^2-b_3x+c_3&=&0
\end{eqnarray}
con $b_1.b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ números reales diferentes.
¿Es posible que los números $b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ sean las raíces de las ecuaciones cuadráticas en algún orden?

Problema

Configuración con acutángulo isósceles

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2014 - 11:16.

2.5. Sea ABC un triángulo acutángulo isósceles con AC=BC. M y N son los puntos medios de AC y BC, respectivamente. La altura desde A corta a la prolongación de MN en X y la altura desde B corta a la prolongación de MN en Y. Z es la intersección de AY con BX. Además, sucede que los triángulos ABC y XYZ son semejantes. Determina la razón $\frac{AC}{AB}$.

Problema

Tabla con números sin 3 o 7

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2014 - 11:15.

2.4. Se tiene una tabla con siete columnas A,B,C,D,E,F,G y se coloca en ella los números naturales que no contienen al 3 o al 7 en su desarrollo decimal. Se empieza en la casilla C1, como se muestra. ¿En cuál columna y renglón queda el 2014?

Problema

Espiral con el 2014 en cuadrícula

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2014 - 11:13.

2.3. Sobre una cuadrícula se coloca 2014 veces el número 2014 (un dígito en cada casilla) siguiendo una espiral como se muestra en la figura. Sea M la suma de los números sobre las casillas verdes y N la suma de los números sobre las casillas amarillas. Calcula la diferencia entre M y N.

Problema

Ángulo postgiro

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2014 - 11:10.

2.2. Sea ABCD un cuadrilátero que cumple: AB=AD,AC=BC+CD y los ángulos ABC y CDA suman 180 grados. El triángulo ABC se gira con centro en A formando el triángulo AB'C', como se muestra en la figura, hasta que el punto B' coincida con D, formándose el triángulo ADC'. Encuentra la medida del ángulo ACC'.

Problema

Huevos y chilaquiles en buffet

Enviado por jmd el 25 de Mayo de 2014 - 11:09.

2.1. Cierto día en el restaurante La Cascada prepararon para el buffet de desayuno una charola de cada uno de los siguientes siete platillos: huevos con tocino, frijoles con queso, huevos con jamón, huevos a la mexicana, chilaquiles rojos, chilaquiles con huevo y chilaquiles verdes. Se le ordena al mesero acomodar las charolas de los platillos, alineadas en la barra, de forma tal que las que contengan huevo queden juntas y que las que contengan chilaquiles queden juntas.

Problema

Isósceles inscrito en acutángulo

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2014 - 21:40.

1.6. Sean ABC un triángulo acutángulo, H su ortocentro y M el punto medio de BC. La perpendicular a MH por H corta a AB en L y a AC en N. Demuestra que LH=HN.

Problema

Ordenar los superhéroes

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2014 - 21:38.

1.5.  Heberto tiene en su colección de figuras de acción de superhéroes dos Hulk, dos Superman,dos Ironman, dos Batman que quiere acomodar en línea sobre una repisa. Quiere que entre cada dos superhéroes iguales haya una cantidad diferente de figuras. Por ejemplo, si hay tres figuras entre los dos Hulk, no podría haber tres figuras entre los dos Batman. De cuántas maneras diferentes puede hacer esto?
 

Problema

La lista de Julio

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2014 - 21:37.

1.4. Julio hace una lista con los números que cumplen las siguientes condiciones:
--El número es de ocho cifras, todas diferentes.
--Es múltiplo de 8.
--Cada dos cifras adyacentes en el número forman un nuevo número que es múltiplo de 7 o de 13, aunque no necesariamente todos múltiplos del mismo número.
Encuentra los números de la lista de Julio.

Problema

Razón de áreas en un hexágono

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2014 - 21:35.

1.3.  Sean ABCDEF un hexágono regular y M el punto medio del lado AB. Si O es el punto donde se cruzan los segmentos AD y ME ¿qué parte del área del hexágono es el área del triángulo OMD?

Problema

Números mazatlecos

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2014 - 21:33.

1.2.  Se dice que un número de cuatro cifras diferentes entre sí y distintas de cero es Mazatleco si al eliminar la mayor y la menor de las cifras, las dos restantes suman 10. ¿Cuántos números Mazatlecos hay?

Problema

Llevar o no llevar: that's the question

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2014 - 21:31.

1.1.  Se forman tres números enteros de tres cifras, abc,def,ghi, donde cada letra representa un dígito del 1 al 9 sin que se repitan. Si la suma de los tres números termina en 65 ¿cuál es el valor de dicha suma?

Problema

cuadrado ABCD

Enviado por edson torres el 21 de Mayo de 2014 - 19:30.

En un cuadrado ABCD, se coloca un punto intermedio en cada uno de sus lados y llamarlos EFGH, unir FG,FE,EH Y Hg, luego unir AF y DB y en la intersecion colocar x, demostrar que al unir x con H y con G los segmentos son iguales 

Problema

Ejercicio en matemáticas del reloj

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 09:18.
Los números del 1 al 1000 se colocan en orden alrededor de una circunferencia. Empezando con el 1 se marca cada quinceavo número (el 16, el 31, etc.). Este proceso se continúa sobre los números en la circunferencia hasta llegar a un número ya marcado. ¿Cuántos números quedan no marcados?
 
Problema

Ejercicio en diferencia de cuadrados

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 09:17.

La diferencia de dos números es 2 y la diferencia de sus cuadrados es 8. ¿Cuánto vale su suma?

Problema

Recuerdos de Querétaro 1998

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 09:16.

Encontrar los enteros positivos mínimo (m) y máximo (M) que se pueden expresar en la forma $1/a_1+2/a_2+3/a_3+...+9/a_9$ (Donde $a_1,...,a_9$ son dígitos, no necesariamente distintos.)

 

Problema

Suertudos

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 09:14.

Un número se dice que es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras y repetir esta operación suficientes veces se obtiene el número 1. Por ejemplo el número 1900 es suertudo, pues en la primera operación se obtiene 82, en la segunda 64+4=68, en la tercera se obtiene 100 y en la cuarta se obtiene el 1. Encontrar dos números  consecutivos que sean suertudos.

 

Problema

3m+2 nunca es cuadrado perfecto

Enviado por jmd el 13 de Mayo de 2014 - 09:12.

Sea m un entero. ¿Puede ser cuadrado perfecto un número de la forma 3m+2?