Problemas - Álgebra

Samuel tiene un cajero mágico que funciona de la siguiente manera: él ingresa una cantidad $x$ de dinero, siendo $x$ un entero positivo, y presiona un botón que le da el doble de la cantidad de dinero que hay (mas lo que ya tenía). Por ejemplo, si Samuel inserta 1 peso y presiona el botón, la máquina le dará 2 pesos, por lo que ahora tiene 3 pesos. Si presiona el botón una segunda vez, la máquina le devolverá 6 pesos. Y así sucesivamente. Si Samuel presiona el botón $n$ veces, cuánto dinero, en términos de $x$, tendrá en total?

Determina todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ con $0<a<b<c$ en progresión geométrica para las cuales se cumplen las siguientes dos ecuaciones: 

$$a+b+c=35$$

$$a^2+b^2+c^2=525$$

Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+a_0x+b_0$ para algunos reales $(a_0, b_0)$. Repetimos el siguiente proceso tantas veces como sea posible:

Tomamos $r_i$, $s_i$ las raíces de la ecuación $x^2+a_ix +b_i=0$ y $c_i = \min\{r_i, s_i\}$. Y escribimos la nueva ecuación $x^2 +b_ix +c_i$. Es decir, para la repetición $i+1$ del proceso $a_{i+1} = b_i$ y $b_{i+1} = c_i$

Decimos que $(a_0, b_0)$ es una pareja interesante si, después de un número finito de repeticiones, cuando volvemos a realizar el proceso de la nueva ecuación escrita es la misma que la anterior, de manera que $(a_{i+1}, b_{i+1}) = (a_i,b_i)$

Nota: Las raíces de una ecuación son los valores de $x$ tales que $x^2+ax+b=0$

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:

$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$ $$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$

Nota: $a | b$ quiere decir que el número entero $a$ divide al número entero $b$.