Problemas - Álgebra

Problema

Álgebra del Primer Selectivo 2016

Enviado por Orlandocho el 28 de Agosto de 2016 - 12:49.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $m$ y $n$ tales que $$(m^2+n)(m+n^2)=(m+n)^3.$$

Problema

Problema 6 - IMO 2016 - Malfalda silba y las ranas saltan

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 21:57.

Se tienen $n \geq 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersecan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n -1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

Problema

Problema 5 - IMO 2016 - Quita términos lineales de ambos lados

Enviado por jesus el 12 de Julio de 2016 - 21:52.

 En la pizarra está escrita la ecuación $$(x - 1)(x - 2)\cdots (x - 2016) = (x -1)(x- 2)\cdots (x-2016)$$ que tiene 2016 factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos 4032 factores lineal, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

Problema

Problema 3 - IMO 2016 - Área de un polígono cíclico de coordenadas enteras.

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 14:06.

Sea $P=A_1A_2 \dots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \dots, A_k $ tienen coordenadas enteras y están sobre un círculo. Sea $\mathcal{S}$ el área de $P$. Los cuadrados de las los lados de $P$ son todos divisibles por un entero dado $n$. Demuestra que $2\mathcal{S}$ es divisible por $n$,

Traducido del inglés.

Problema

Caminando en una escalera electríca

Enviado por jesus el 28 de Mayo de 2016 - 18:32.

Una escalera eléctrica tarda 60 segundos en llevar a una persona del primer al segundo piso, la persona caminando tarda 90 segundos en subir esa misma escalera apagada. ¿Cuánto tarda esa persona en subir la escalera caminando y estando prendida?

Problema

Capacidad del estadio de futbol

Enviado por jesus el 28 de Mayo de 2016 - 18:27.

Al inicio de un partido de futbol, al estadio estaba al 30% de capacidad, 30 minutos después había 3000 aficionados más que al inicio y al estadio le faltaba un 30% para llenarse, ¿cuál es la capacidad del estadio?

Problema

Ni primo ni cuadrado

Enviado por German Puga el 28 de Abril de 2016 - 21:34.

Muestra que el número $5n+3$ no es un cuadrado perfecto, con n entero positivo y que si $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados, entonces $5n+3$ no es primo.

Problema

Elemental de álgebra

Enviado por German Puga el 28 de Abril de 2016 - 21:25.

Si $a^2 + a = 2b^2 + b = 50a - 49b$ ¿Cuanto es a+b?

Problema

La magia de los números primos

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 18:50.

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.

Problema

Problema 6. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 12:57.
Sea $n$ un entero positivo y sean $d_1,d_2, \ldots , d_k$ todos sus divisores positivos ordenados de menor a mayor. Considera el número $$f(n)=(-1)^{d_1}d_1+(-1)^{d_2}d_2+\ldots+(-1)^{d_k}d_k.$$
Por ejemplo, los divisores positivos de 10 son $1,2,5$ y $10$, así que $$f(10)=(-1)^{1}\cdot 1+(-1)^{2}\cdot 2+ (-1)^{5}\cdot 5 +(-1)^{10}\cdot 10=6.$$
Supón que $f(n)$ es una potencia de $2$. Muestra que si $m$ es un entero mayor que $1$, entonces $m^2$ no divide a $n$.