Problemas - Álgebra
Posible cambio de variables en desigualdades (2)
Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demostrar que si $xy+yz+zx+2xyz=1$, entonces existen números $a,b,c$ reales positivos tales que
$$x=\frac{a}{b+c},y=\frac{b}{c+a},z=\frac{c}{a+b}$$
Posible cambio de variables en desigualdades
Sean $x,y,z$ números reales positivos y $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$, $\sigma_3=xyz$. Demostrar que si $\sigma_3=\sigma_1+2$, entonces existen números $a,b,c$ reales positivos tales que $$x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$$
Un ejercicio algebraico con polinomios simétricos
Sean $x,y,z$ números reales positivos y $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$, $\sigma_3=xyz$, los polinomios simétricos elementales para tres variables. Demostrar que $1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1$ si y sólo si $\sigma_3=\sigma_1+2$. (En otras palabras, las ecuaciones $1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1$ y $xyz=x+y+z+2$ pueden ser transformadas una en la otra mediante operaciones algebraicas.)
Un producto de Cauchy
Sea dada una sucesión finita $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ de números reales positivos. Demostrar que la sucesión es geométrica si y sólo si se cumple la ecuación
$$(a_0^2+a_1^2+\ldots+a_{n-1}^2)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)=(a_0a_1+a_1a_2+\ldots+a_{n-1}a_n)^2$$
Dos desigualdades y una ecuación
a) Demostrar que para todas las parejas $a,b$ de números reales se cumplen las desigualdades:
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(ab+1)^2$$
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(a+b)^2$$
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.
c) Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en números reales, de la ecuación $(x^2+1)(y^2+1)=(xy+1)(x+y)$
Desigualdad separable
Sean $x,y$ números reales no negativos. Demostrar que se cumple la desigualdad
$$(x+y^3)(x^3+y)\geq{4x^2y^2}$$
¿En qué casos se logra la igualdad?
Arma Mortal
Mel Gibson es 4 años mayor que su ex-esposa Robyn. Hace 6 años la edad de Mel era el doble que su vida de casado con Robyn. Si no se hubieran divorciado el año pasado, este año ella habría cumplido 3/5 de su edad casada con Mel. ¿Cuántos años tienen?
Máximo con restricciones
Los números reales $a,b,c,d,e$ suman 8 , sus cuadrados 16. Encontrar el máximo valor que puede obtener $e$.
Razonar la representación decimal de un número
Un número de 4 dígitos es 9 veces el número que resulta de quitarle el primer dígito. Encontrar todos los valores posibles de ese primer dígito.
Suma de consecutivos
La suma de 18 enteros consecutivos positivos es un cuadrado perfecto. Encontrar el mínimo valor que puede tener esa suma.