Problemas - Álgebra

Problema

estatal 2008 a

Enviado por jmd el 29 de Junio de 2008 - 16:25.

Determinar todas las parejas $(x,y)$ de números enteros que verifican la ecuación:

$$\frac{1}{x}+\frac{2}{y} =\frac{8}{2x+y}$$

Problema

Problema 1, regional 2008

Enviado por jmd el 9 de Junio de 2008 - 17:26.

La suma de las áreas de dos cuadrados es 400, y el lado de uno mide 3/4 del lado del otro.

a) ¿Cuánto mide el lado de cada uno de los cuadrados?

b) ¿Cuánto medirían si la suma de las áreas fuese 800?

Problema

Método "Busca donde hay luz"

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 01:00.

Encontrar todas las tripletas de enteros (a,b,c) tales que el producto de dos de ellos más el tercero sea la unidad (o sea el 1).

Problema

Ecuaciones funcionales

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 01:00.

Resolver las siguientes ecuaciones funcionales.

 

 

  1. Encontrar $p(x)$ de tal manera que $p(x+1)=p(x)+2x+1$.
  2. Encontrar $f(x)$ de tal manera que $f(x+1)=x^2-3x+2$.
  3. Lo mismo para $$ f(\frac{x+1}{x})=(\frac{x^2+1}{x^2})+1/x $$
  4. $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$.
  5. Para $x>0$, $f(xy)=xf(y)+yf(x)$.
  6. $f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$.
Problema

Fórmulas de Vieta

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 01:00.

Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas.

x+y+z=2

x^2+y^2+z^2=14

xyz=-6

Problema

Soluciones de una cuadrática

Enviado por jesus el 1 de Enero de 2008 - 01:00.

Sean $x_1$ y $x_2$ dos soluciones distintas de la ecuación cuadrática:

$Ax^2+Bx+C=0$

Demuestra que $$ (x_1-x_2)^2 = \frac{(B/2)^2 -AC}{A^2} $$

Problema

IMO 2004, problema 2

Enviado por jesus el 1 de Enero de 2008 - 01:00.

Encuentre todos los polinomios $P(x)$ tales que

$$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$$

para todo $a, b, c$ reales que satisfacen que $ab+bc+ca=0$.

Problema

Una sucesión no acotada

Enviado por jesus el 13 de Noviembre de 2007 - 01:00.

Considere la sucesión $a_0, a_1, a_2,\dots $ de enteros construida como sigue:

 

 

  1. $ a_0 > 5 $ es impar,
  2. $ a_{n+1} = a_n/2 $ si $ a_n $ es par,
  3. y $a_{n+1} ={a_n}^2-5$ si $ a_n $ es impar.

Demostrar que la sucesión es no acotada.

Problema

USAMTS (Problema 5)

Enviado por jmd el 6 de Septiembre de 2007 - 01:00.

Sea c un número real. La sucesión $a_1,a_2, a_3,\dots$ está definida por $a_1=c$ y $a_n = 2a_{n-1}^2 -1$ , para todo $n \geq 2$ . Encontrar todos los valores de para los cuales $a_n <0$ para toda n.