Problemas - Álgebra

Problema

Inferencias a partir de datos incompletos

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 20:51.

Pablo estaba copiando el siguiente problema: 

Considere todas las sucesiones de 2004 números reales $(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{2003}),$  tales que \begin{eqnarray}
x_0 &=&1\\ 0\leq& x_1&\leq 2x_0,\\ 0\leq &x_2&\leq 2x_1,\\
&\vdots&\\ 0\leq &x_{2003}&\leq 2x_{2002}.\end{eqnarray}
Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente
expresión toma su mayor valor: $S =\ldots$.

Problema

Un elemento de la sucesión es negativo

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 19:31.

La sucesión de números reales $a_1, a_2,\ldots$ se define como sigue:
$a_1=50$ y $a_{n+1}=a_n-1/a_n$ para cada entero $n > 0$.
Demuestre que existe un entero $k$, $1 \leq k\leq 2002$, tal que $a_k < 0$.

Problema

Número máximo de subsucesiones aritméticas crecientes

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 17:37.

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión $a_1 < a_2<...<a_n$ de $n > 3$ números reales.

Nota: Tres términos $a_i, a_j, a_k$ de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si $a_i < a_j <a_k$ y $a_j - a_i = a_k - a_j$.

Problema

Desigualdad para cardinalidades de subconjuntos

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 17:32.

Sean $S$ un conjunto de $n$ elementos y $S_1, S_2, \ldots, S_k$ subconjuntos de $S$ ($k\geq 2$), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos.  Demostrar que existen $i$ y $j$, con $1\leq i < j \leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S_j$ es mayor o igual que $$r-\frac{nk}{4(k-1)}$$

Problema

Área de un hexágono bonito

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:34.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud 1, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

  • (a) Dado cualquier número $k$, mayor que 0 y menor o igual que 1, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
  • (b) Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que 3/2.
Problema

Geométrica por eliminación

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:29.

De una progresión aritmética infinita $1, a_1, a_2\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita: $1, a_{n_1}, a_{n_2},\ldots$ de razón $q$. Encontrar los posibles valores de $q$.

Problema

Problema diofantino

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:28.

Encontrar todas las soluciones de la ecuación
$$(x + 1)^y - x^z = 1$$
Para $x, y, z$ enteros mayores que 1.

Problema

Sucesión periódica en la mediatriz de un segmento

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:13.

 Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$ de la siguiente manera: $C_1 = C$ y, para $n\geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, entonces $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$.
Determine todos los puntos $C$ tales que la sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n,\ldots$ está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.

Nota: Una sucesión $C_1, C_2,\ldots, C_n,\ldots$ es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos $k$ y $p$ tales que $C_{n+p} = C_n$ para todo $n\geq k$.

Problema

Resto del término 1998 en la división entre 1998

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:37.

Sea $\lambda$ la raíz positiva de la ecuación $t^2 - 1998t - 1 = 0$. Se define la sucesión $x_0 , x_1 ,x_2 ,\ldots, x_n ,\ldots$ por:
$$x_0 = 1, x_{n + 1} = [\lambda x_n],$$ para $n = 0, 1, 2,\ldots$
Hallar el residuo (resto) de la división de $x_{ 1998}$ entre 1998.
NOTA: $[x]$ es el único entero $k$ tal que $k\leq x \leq k + 1$.

Problema

Estadísticas trucadas

Enviado por jmd el 20 de Diciembre de 2011 - 21:33.

Una oficina de Turismo va a realizar una encuesta sobre el número de días soleados y el número de días lluviosos que se dan en el año. Para ello recurre a seis regiones que le transmiten los datos de la siguiente tabla: