Problemas - Álgebra

Problema

Cuadrados perfectos en una progresión aritmética

Enviado por jmd el 20 de Diciembre de 2011 - 21:16.

Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos.

Problema

Triángulo aritmético

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 21:30.

Sea dado el triángulo aritmético

0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
 1 3 5 7...................... 3983 3985
  4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.

Problema

Grado de repulsión de una función circular

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 15:44.

Una función $f: N \mapsto N$ es circular si para cada $p$ en $N$ existe $n$ en $N$ con $n\leq p$ tal que:
$$\underbrace{f^n(p) = f(f(\ldots f(p) \ldots )))}_{n veces}=p$$
La función $f$ tiene grado de repulsión $k$, $0 < k < 1$, si para cada $p$ en $N$, $f^i(p) \neq p$ para $i\leq [k\cdot p]$. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: $[x]$ indica el mayor entero menor o igual que $x$.

 

Problema

Condiciones extravagantes para n+1 números

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 15:32.

Sea $n$ un número entero mayor que 1. Determine los números reales $x_1, x_2,\ldots, x_n\leq 1$ y $x_{n+1}>0$, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
$$\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n-1]{x_n}=n\sqrt[2]{x_{n+1}}$$
$$\frac{x_1+x_2+ \ldots +x_n}{n}=x_{n+1}$$

Problema

Para entender la pregunta primero tienes que responderla

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 15:27.

Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.

Problema

Si le entiendes al enunciado obtienes un punto

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:20.

Demostrar que todo número natural $n\leq 2^{1000000}$ puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales $x_0, x_1,\ldots,x_k$, con $k < 1100000$, $x_0 = 1, x_k = n$ tal que para cada $i = 1, 2,\ldots, k$, existen $r, s$ con $0\leq r < i, 0 \leq s < i$, y $x_i = x_r + x_s$.

Problema

Eliges, sumas, y te vas...

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:18.

Sean $n, r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_r$ de $\{0, 1,\ldots, n-1\}$ cada uno de ellos con exactamente $k$ elementos y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x \leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$ ,... , $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con $x = x_1 + x_2\dots+ x_r$. Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.

Problema

Una forma complicada de definir una función elemental

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 10:37.

 Sea $N^* = \{1, 2, 3, \ldots \}$. Halle todas las funciones $f: N^* \mapsto N^*$ tales que:

  • i) si $x < y$, entonces $f(x) < f(y)$
  • ii) $f(y f(x)) = x^2f(xy)$, para todos los $x, y\in N^*$.
Problema

Dos sucesiones recursivas

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:24.

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:

  • i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
  • ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
  • iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.

Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.

Problema

Suma de las raíces de un polinomio

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:18.

Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función$$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$ Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.