Fracciones con denominador 1991

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Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)
menores que uno y con denominador es 1991.

Ver también: 
Fracción irreducible



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 Para los novatos: noten que

 Para los novatos: noten que realiar todas las sumas es una tarea doble, pues hay que comprobar la irreducibilidad de las fracciones y posteriormente hay que sumar probablemente una gran cantidad de números. Aun así, no se desanimen si esta fue su única idea; en estos concursos hay que pensar hasta lo inimaginable e intentarle, con la práctica surgen "corazonadas" de los posibles caminos de resolución de problemas.

Algunas posibles estrategias para domar a este feroz león:

  • ¿Qué es irreducible? El profesor Muñoz ha puesto una liga donde se contesta esta duda.
     
  • Sabiendo qué es una fracción irreducible y que el denominador es 1991, ver la factorización en primos de 1991 y decir cómo son los números que irán en los numeradores de las fracciones a sumar.
     
  • Buscar una manera efectiva para hacer la suma.

Recuerden, no se desesperen si a la primera no sale.

saludoz

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Denotemos con a la suma

Denotemos con $A$ a la suma buscada y con $B$ a la suma de fracciones reducibles con denominador $1991$ y menores a $1$. Se tiene entonces que

$\displaystyle A+B = \sum_{k=1}^{ 1990} \frac{k}{1991}$

y

$\displaystyle B = \sum_{k=1}^{180} \frac{11k}{1991}+\sum_{k=1}^{10} \frac{181k}{1991}$

y por tanto

$\displaystyle A= \frac{1}{1991}\left(\frac{(1990)(1991)}{2} - \frac{(11)(180)(181)}{2} - \frac{(181)(10)(11)}{2}\right) = \frac{1990-180-10}{2}=900.$