Números suertudos

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Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que $1900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.




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Primero nos fijamos que para

Primero nos fijamos que para que un número sea suertudo, toda la cadena de sumas hasta el $1$ es formada por números suertudos.

Supongamos que $n$ es suertudo. Sea $f(n)=111 \cdots111$ con $n$ digitos $1$, el cuadrado de sus digitos suma $n$,  el cual es suertudo, por lo tanto $f(n)$ es suertudo. También $g(n)=111 \cdots 1110$ con $n$ digitos $1$ y un $0$ es suertudo por el argumento anterior.

Si $n$ y $n+1$ son suertudos, entonces $f(n+1)$ y $g(n)$ son suertudos y como tienen los todos sus digitos iguales excepto su ultimo digito, que es $1$ y $0$ respectivamente, entonces tambien son consecutivos. Por lo tanto bastará con encontrar una pareja de suertudos para generar infinitas.

Nos fijamos que $129 \rightarrow 86 \rightarrow100 \rightarrow1$ y que $130 \rightarrow 10 \rightarrow 1$ por lo tanto $(129,130)$ es la pareja inicial que buscamos.

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Excelente demostración, muy

Excelente demostración, muy elegante. Sólo tengo una pregunta, ¿cómo encontraste 129 y 130?

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Me fijé que Luego probé

Me fijé que

$7 \rightarrow 49 \rightarrow 97 \rightarrow 130 \rightarrow 10 \rightarrow 1$

Luego probé $\pm 1$ cada uno de esa lista, hasta encontrar uno, y encontré que el $129$ cumplía y era consecutivo con $130$.

Como dato curioso, $(31,32)$ tambien funciona, ese lo encontré por fuerza bruta jeje.

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¿Cuántos números suertudos

¿Cuántos números suertudos existen menores que 2011?