Suma de cuadrados cuadrado

Versión para impresión
Su voto: Ninguno Media: 4 (4 votos)

La suma de los cuadrados de dos números consecutivos puede ser un cuadrado perfecto (por ejemplo $3^2 + 4^2 = 5^2$).
a) Pruebe que la suma de los cuadrados de $m$ enteros consecutivos no puede
ser un cuadrado para $m$ igual a 3 y 6.
b) Encuentre un ejemplo de 11 números consecutivos cuya suma de cuadrados sea un cuadrado perfecto.

Ver también: 
Cuadrado perfecto



Imagen de coquitao

a) Caso 1. m=6. Trabajando en

a)

Caso 1. m=6.

Trabajando en módulo $8$ se observa que la suma de los cuadrados de 6 números consecutivos es siempre congruente a $3$ ó $7$ (en módulo $8$).

Caso 2. m=3.

La suma de los cuadrados de tres consecutivos es congruente con $2$ en módulo $3$.

Imagen de jesus

Entiendo tu solución, y veo

Entiendo tu solución, y veo que está bien. Me preocupa que no todos los novatos entiendan pues te estás brincando muchas cosas. Pero si ellos no preguntan... ¿cómo saber si entendieron o no?

Imagen de j_ariel

 Concuerdo también. Recueden:

 Concuerdo también. Recueden: no hay preguntas tontas.

Imagen de coquitao

La respuesta es simple: nadie

La respuesta es simple: nadie pregunta entonces todo mundo entendió. Por otro lado, no creo que en mi respuesta falten taaantos pasos.

Saludos. ;)

Imagen de coquitao

b) La suma es igual a .

b) La suma $n^{2}+\ldots+(n+10)^{2}$ es igual a $11[(n+5)^{2}+10]$. Luego, para que la expresión sea un cuadrado perfecto, el segundo factor tiene que ser de la forma $11k^{2}$ para algún $k \in \mathbb{N}$. Después de un poco de exploración resulta fácil ver que al elegir $k=7$ se llega a que $(n+5)^{2}+10=(11)(7^{2})$ y por tanto $n=18.$ Así, los cuadrados de los $11$ números del conjunto $\{18, 19, \ldots, 28\}$ hacen lo pedido.

Imagen de jmd

Yo tengo varias preguntas en

Yo tengo varias preguntas en nombre de la comunidad de usuarios MaTeTaM (no necesariamente para Coquitao, sino para los ex-olímpicos y aficionados al problem solving de olimpíada).

Bueno, en primer lugar agradezco a Coquitao su colaboración motivo de este comentario, y las anteriores; todas excelentes e ilustrativas del razonamiento experto en problemas de olimpiada... las gracias le sean dadas...

Empiezo diciendo que es un hecho de la comunicación humana que en el discurso (de cualquier tipo) siempre habrá cosas que no se dicen sino que se da por supuesto que el destinatario las conoce y las traerá a presencia en la interacción comunicativa --como una forma de cooperación comunicativa con el interlocutor. En este sentido, ninguna comunicación es transparente pues la comprensión del discurso es un acto de colaboración de cogniciones.

Y ello no sólo en matemáticas sino en cualquier comunicación. Tomemos como ejemplo el verso de una canción de Cranberries:

With a Smith & Wesson 38,
John Lennon's life was no longer a debate.

¿Qué tenemos aquí? Bueno, en primer lugar es claro que quedan excluidos de la comprensión los interlocutores que no conocen el idioma inglés (un 60% de los mexicanos, digamos).

Después (dentro de los que le entienden al inglés) se excluyen también quienes no tienen el contexto de la la vida de John Lennon; pero también quienes no saben qué es "a Smith & Wesson 38". Y quizá después seguirían quienes no se pueden imaginar cómo encaja el sustantivo "debate" en el verso (aún cuando conozcan la vida de John Lennon, pues el uso de la palabra es metafórica).

Pasemos ahora con las preguntas del problema. Quien tiene el contexto de problemas de este tipo sabe que una pregunta del tipo "no se puede" sugiere (para él, gracias a su experiencia en el problem solving, pero no es sugerencia universal) el uso de una "criba" que opere sobre las condiciones necesarias. Y, para este caso, las cribas conocidas se basan en un análisis residual con un módulo adecuado.

Esto se ilustra claramente para el caso 2 (módulo 3). Pero pues hay que saber que, como todo entero es congruente con -1,0 o 1 (módulo 3), entonces su cuadrado es congruente con 0,1(módulo 3). De aquí que no se pueda formar un cero ni un uno con tres cuadrados consecutivos. (Pues los posibles sumandos son 0+1+1 en algún orden.) Esto es elemental ¡pero no para el novicio!

(Aprender congruencias lo puede hacer el novicio en un mes, pero sentirse a gusto con ellas puede requerir años... y ello es cierto para quienes han hecho todas sus tareas en la escuela... y en los entrenamientos... pero --hay que decirlo aunque sea políticamente incorrecto-- !hay quienes no siquiera saben bien el álgebra escolar!)

Por otro lado hay que recordar que el problema es del concurso nacional y ello significa que están excluidos de su comprensión --y su consecuente resolución-- el 98% de los adolescentes --ni bueno ni malo, es solamente un hecho de la vida.

Y debería ser claro para todos que aquí la creatividad es definitivamente una cualidad inútil. Lo que se necesita es experiencia en problemas de este tipo (el significado está en el uso). Porque la creatividad es más útil cuando se tienen las herramientas adecuadas...

Ahora bien, conociendo el telón de fondo de la estrategia general de demostración de una proposición "no se puede", es decir, después de hacer pasado varios filtros comunicativos, la pregunta que tengo es sobre el uso del módulo 8:

¿Cómo sabes que el módulo adecuado para el análisis residual es 8? ¿Hay alguna regla o principio que te lo diga o sugiera?

Los saluda

Imagen de coquitao

- El principio básico es

- El principio básico es intentarlo para módulos pequeños y ver si las elecciones respectivas funcionan o no. Yo sabía que el módulo 8 era el bueno porque había hecho un problema análogo antes.

- Para ser sinceros, no entendí lo del sustantivo debate en el verso. ¿Por qué decían los Cranberries que "la vida de Lennon no sería más un tema de debate"?

- Creo que nuestra solución para la parte b es más baja que la oficial, ¿verdad? De acuerdo a un folleto que acabo de consultar, en aquél entonces se propusó como solución a la 11-ava (38, ..., 48). ¿Pueden creerlo?

Saludos

Imagen de jmd

Gracias por la respuesta

Gracias por la respuesta Coquitao. Me imaginaba que la regla sería algo así. Ello aclara el misterio "del conejo sacado de la manga" del módulo 8...

Respecto a la cuestión del "debate"... tienes razón en pensar que la muerte de alguien cuya vida fue objeto de controversia no aniquila ésta... aunque sí la condena a ser solamente de interés histórico... es decir, a ser olvidada por los mass media (que están muy ocupados con las travesuras de Lady Gaga u otra de las celebridades del momento).

Te saluda

PD: ahorita estoy tratando de poner todos los concursos nacionales de manera sistemática, así que no he consultado las soluciones, estoy concentrado en los enunciados --la iniciativa es de Jesús y me pareció muy buena idea...

Imagen de crimeeee

Yo soy lo que ustedes llaman

Yo soy lo que ustedes llaman "novicio" pero en desarrollo, porque estoy entrenándome para dejar de serlo. Por más que intenté, no puedo comprender lo de los módulos, es decir comprendo el caso 2, pero intentando otro problema, cuando analizé la suma de 8 cuadrados consecutivos en módulo 8, llego a que la suma da 4, y 4 forma parte de los residuos de cuadrados en módulo 8, entonces hasta aquí la suma de 8 cuadrados da otro cuadrado perfecto, pero a la vez no lo encuentro y por medio de otros cálculos llego a que no es el resultado otro cuadrado perfecto. Alguien puede solucionarme este problema?

Ah también me gustaría me expliquen como sé que módulo usar, es decir coquitao uso módulo 8 para analizar el caso 1, pero por qué no el 6 o el 7? Tal vez esto responda mi primera duda también.

Gracias.

Imagen de jesus

Parece que ya sabes algo de

Parece que ya sabes algo de módulos, lo cuál no es común en los novicios.

Sobre cómo saber qué modulo usar... pues no hay una receta, eso te lo da la experiencia. El módulo 8 ha probado ser bastante útil para resolver problemas de cuadrados, sin embargo no es infalible.  Hay otros módulos que pueden ayudar como el 3 o 4, incluso casos raros como 6 o 7 también podrían ayudar, pero rara vez.  Siempre hay que tratar de olfatear al módulo a través de análisis de casos particulares o usando los coeficientes de la expresión como módulos, o cosas intermedias, lo que sea que resulte.

Ahora, sobre lo que dices:

    ... cuando analicé la suma de 8 cuadrados consecutivos en módulo 8, llego a que la suma da 4, y 4 forma parte de los residuos de cuadrados en módulo 8, entonces hasta aquí la suma de 8 cuadrados da otro cuadrado perfecto ...

Pues el que el residuo sea 4 no implica que sea un cuadrado, por ejemplo, 12 tiene residuo 4 módulo 8 y  12 no es cuadrado. Lo único que puedes probar con módulos es que algo no es cuadrado perfecto, por ejemplo, si pruebas que un número $n$ tiene residuo 3, entonces $n$  no podrá ser cuadrado perfecto.

Saludos

P.D. ¿Cómo probaste que las suma de 8 cuadrados no da cuadrado perfecto?

Imagen de crimeeee

 Ahhhh muchas gracias, eso

 Ahhhh muchas gracias, eso explica por qué  la suma de ocho cuadrados consecutivos en módulo 9 da un residuo en que no termina un cuadrado. O sea que la suma de dos cuadrados consecutivos que da otro cuadrado (Ej= $3^2+4^2=5^2$, al analizarlo en cualquier módulo da residuo de un cuadrado perfecto?

Respecto a lo que me preguntaste, ahora que me fijé encontré un error, así que la demostración está mal.

Una pregunta que no tiene que ver con el tema:

Visito esta página a menudo, porque tiene un montón de teoría que me re sirve, pero lo que quiero saber es si: ¿ puedo publicar un problema que a mí no me sale, y alguien pone la solución?

Imagen de jesus

Claro que puedes, sólo tienes

Claro que puedes, sólo tienes que ser paciente, pues tal vez tardarán un poco en contestarte.

Si tienes alguna otra duda (no necesariamente un problema) y que quieras compartirnos también  puedes usar los foros.