Problemas - Combinatoria
P6 OMM 1995. Tres operaciones sobre los símbolos de una cuadrícula
Sobre los cuadrados de una cuadrícula de $4x4$ se colocan símbolos 0 y1; estos símbolos se cambian uno por el otro de acuerdo a las siguientes tres operaciones:
La operación (a) cambia los símbolos de todos los elemntos de un renglón.
La operación (b) cambia de símbolos de todos los elementos de una columna.
La operación (c) cambia de símbolos de todos los elementos de una diagonal
(líneas punteadas en la figura).
P4 OMM 1995. Con 26 sí, con 27 no
a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.
P2 OMM 1995. Seis puntos, 8 distancias 1 ¿equilátero?
Considera 6 puntos en el plano con la propiedad de que 8 de las distancias entre ellos son iguales a 1. Muestra que al menos tres de los puntos forman un triángulo equilátero de lado 1.
P6 OMM 1994. Un problema muy negativo
Sea $C$ una cuadrícula de $10x10$. Considere piezas de las siguientes formas:
donde en cada pieza, los cuadrados son de $1 x 1$. Demuestre que:
- 1. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (a)
- 2. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (b)
- 3. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (c)
P4 OMM 1994. Leer primero las páginas primas con 400
Un matemático caprichoso escribe un libro que tiene páginas de la 2 a la 400 y que debe ser leído de la siguiente manera: Primero deberán leerse todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con 400 (por suerte, éstas se leen en orden normal, de menor a mayor). Una vez leídas éstas, se toma el último número de las que no se han leído (en este caso 399) y entonces se leen todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes.
P2 OMM 1994. Desorden en los números del reloj
Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos nuevamente,
se cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva colocación hay
un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados se
obtiene un resultado mayor o igual a 21.
P3 OMM 1992. Siete puntos en hexágono
Considere siete puntos dentro o sobre un hexágono regular y pruebe que
tres de ellos forman un triángulo cuya área es menor o igual que $\frac{1}{6}$ del
área del hexágono.
P2 OMM 1992. Cuartetas y múltiplos de un primo
Sea $p$ un número primo, diga cuántas cuartetas distintas $(a, b, c, d)$ existen, con a, b, c y d enteros y $0 \leq a, b, c, d \leq p-1$, tales que $ad - bc$ sea múltiplo de $p$.
P1. OMM 1990. Paseos en una cuadrícula
Encuentre el total de caminos que hay del punto $A$ a línea $l$ en la red de la siguiente figura, si en un camino solo está permitido ir hacia la izquierda.
P6. OMM 1989. Trayectorias en retícula triangular
Siguiendo las líneas de la figura ¿Cuántos caminos hay para ir del punto $A$ al punto $B$ que no pasen dos veces por el mismo punto y que solo avancen hacia abajo y hacia los lados pero no hacia arriba?
