Problemas - Combinatoria

Problema

Secuencia de conjuntos no vacios (OMM 2021 P6)

Enviado por jesus el 18 de Diciembre de 2021 - 14:32.

Determina todos los conjuntos no vacíos $C_1, C_2, C_3, \dots$, tales que cada uno de ellos tiene un número finito de elementos y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente propiedad: Para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$, la cantidad de enteros positivos en el conjunto $C_m$ más la cantidad de enteros positivos en $C_n$ es igual a la suma de los elementos en el conjunto $C_{m+n}$.

Nota: Al denotar con $|C_k|$ la cantidad de elementos de $C_k$ y con $S_k$ la suma de los elementos de $C_k$, la condición del problema es que para $m$ , $n$ enteros positivos se cumple

$$|C_n|+|C_m| = S_{m+n}$$
Problema

La hormiga, el mago y la lava (OMM 2021 P3)

Enviado por jesus el 21 de Noviembre de 2021 - 21:30.

Sean $m,n \geq 2$ dos enteros. En una cuadrícula de $m \times n$, una hormiga empieza en cuadrito inferior izquierdo y quiere camina al cuadradito superior derecho. Cada paso que da la hormiga debe ser a un cuadrito adyacente, de acuerdo a las siguientes posibilidades $\uparrow$, $\rightarrow$ y $\nearrow$. Sin embargo, un malvado mago ha dejado caer lava desde arriba y ha destruido algunos cuadritos de forma tal que:

Problema

Pasa los caballos a las columnas, si puedes...

Enviado por German Puga el 15 de Enero de 2018 - 21:30.

En un tablero de ajedrez de $2017 \times 2017$, se han colocado en la primera columna 2017 caballos, uno en cada casilla de la columna. Una tirada consiste en elegir dos caballos distintos y de manera simultánea moverlos como se mueven los caballos de ajedrez. Encuentra todos los posibles valores enteros de $k$ con $1\leq k \leq 2017$, para los cuales es posible llegar a través de varias tiradas, a que todos los caballos estén en la columna $k$, uno en cada casilla.

Nota. Un caballo se mueve de una casilla $X$ a una $Y$, solamente si $X$ y $Y$ son las esquinas opuestas de un rectángulo de $3\times 2$ o de $2 \times 3$.

Problema

Problema clásico con solución atípica

Enviado por German Puga el 13 de Diciembre de 2016 - 16:52.

En una cuadrícula de $ n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del 1 al n, en el segundo los números del n+1 al 2n, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen esos dos cuadraditos. Por ejemplo, aquí abajo se muestran dos operaciones sucesivas permitidas en una cuadrícula de 4x4: primero restando 7 a los cuadraditos sombreados y luego sumando 5 a los sombreados.

Problema

Múltiplo de 7 con dígitos consecutivos

Enviado por German Puga el 13 de Diciembre de 2016 - 16:29.

Decimos que un número entero no-negativo $n$ contiene a otro número entero no-negativo $m$, si los dígitos de su expansión (o desarrollo) decimal aparecen en forma consecutiva en la expansión (o desarrollo) decimal de $n$.  Por ejemplo 2016 contiene a 2,0,1,6, 20, 16, 201 y 2016. Determina el mayor número entero $n$ que no contiene a ningún múltiplo de 7. 

Problema

Parejas Guerreras

Enviado por German Puga el 11 de Diciembre de 2016 - 20:57.

Una pareja de enteros positivos $m,n$ es guerrera si existen enteros positivos $a,b,c,d$ con $m=ab, n=cd$ y $a+b=c+d$. Por ejemplo, la pareja 8,9 es guerrera pues $8 = 4 \cdot 2 , 9=3 \cdot 3$ y $4+2=3+3$. Se colorean los enteros positivos de la siguiente manera: 

  • Empezamos coloreando el 3 y el 5.
  • Después , si algún entero positivo no está coloreado y este tiene una pareja guerrera que ya está coloreado, entonces lo coloreamos. 

Encuentra todos los enteros positivos que eventualmente se colorean.

Problema

Cuadritos unitarios distanciados

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 15:42.

Considera un tablero de $n \times n$, con $n \geq 5$. Dos cuadritos unitarios se dice que son distanciados  si no se encuentran en el mismo renglón ni en renglones consecutivos y tampoco en la misma columna ni en columnas consecutivas. Se toman 3 rectángulos con vértices y lados  sobre los puntos y lineas del tablero de manera que si dos cuadritos unitarios pertencen a distintos rectángulos entonces son distanciados . ¿De cuántas maneras es posible hacer esto?

Problema

Triángulos Tranquilos

Enviado por German Puga el 1 de Agosto de 2016 - 16:40.

Considera un tablero cuadrículado de manera regular cuya área es $N$. Al colocar un triángulo no degenerado dentro de él (que puede quedar en los bordes) decimos que es tranquilo, si cada vértice coincide con algún vértice de los cuadritos unitarios interiores, además si uno de sus lados es paralelo a algún lado del tablero. Supón que se han colocado $N+1$ triángulos tranquilos, muestra que hay dos con la misma área.

Problema

Problema 2 - IMO 2016 - Las letras de IMO en un tablero

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 11:42.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero de $n \times n$ puede escribir una de las letras $I$, $M$ y $O$ de manera que:

Problema

¿Seguro que sabes contar?

Enviado por German Puga el 3 de Julio de 2016 - 13:05.

En un concurso de Matemáticas hay 20 participantes, alumnos de Primaria, Secundaria y Bachillerato que se sentarán en una mesa redonda. Hay igual cantidad de alumnos de Secundaria que de Bachillerato. Ya sentados se dividirán en dos equipos con cantidad par de alumnos sentados uno junto a otro (es decir, se pueden tomar de la mano todos los miembros del equipo y formarán una sola cadena). Ellos se dieron cuenta que no importa cómo se formen esos equipos, siempre habrá uno con más alumnos de Secundaria que de Bachillerato. ¿Cuántos alumnos de Primaria hay?