En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?
Dividimos en casos los
Dividimos en casos los saludos
Esquinas $3$ saludos por persona, en total $4$ esquinas$=12$ saludos
Orillas $5$ saludos por persona, en total $2(x-2)+2(y-2)=10(x+y-4)$ saludos
Interior $8$ saludos por persona, en total $8(x-2)(y-2)=8(xy-2x-2y+4)$ saludos
Sumamos y dividimos entre $2$ ya que los saludos se cuentan dos veces:
$\frac{12+10x+10y-40+8xy-16x-16y+32}{2}=4xy-3x-3y+2=1020$
$4x-3x-3y=1018$ buscamos factorizar
$(4x-3)(4y-3)-9=4072$
$(4x-3)(4y-3)=4081$
Factorizamos $4081=7*11*53$
Tenemos 3 casos posibles
$77*53$-->donde $x=20$ y $y=14$
$7*583$---Que no cumple porque $7+3$ no es divisible por $4$
$11*371$--Que no cumple porque $11+3$ no es divisible por $4$
$\therefore$ hay $280$ concursantes
Dividimos en casos los
Dividimos en casos los saludos
Esquinas $3$ saludos por persona, en total $4$ esquinas$=12$ saludos
Orillas $5$ saludos por persona, en total $2(x-2)+2(y-2)=10(x+y-4)$ saludos
Interior $8$ saludos por persona, en total 8(x-2)(y-2)=8(xy-2x-2y+4) saludos
Sumamos y dividimos entre $2$ ya que los saludos se cuentan dos veces:
$\frac{12+10x+10y-40+8xy-16x-16y+32}{2}=4xy-3x-3y+2=1020$
$4x-3x-3y=1018$ buscamos factorizar
$(4x-3)(4y-3)-9=4072$
$(4x-3)(4y-3)=4081$
Factorizamos $4081=7*11*53$
Tenemos 3 casos posibles
$77*53$-->donde $x=20$ y $y=14$
$7*583$---Que no cumple porque $7+3$ no es divisible por $4$
$11*371$--Que no cumple porque $11+3$ no es divisible por $4$
$\therefore$ hay $280$ concursantes
¡Perfectamente bien
¡Perfectamente bien contestado! Solución más rápida y clara no puede ser.
P.D. No me sabía como escribir "por lo tanto" ($\therefore$) con latex