Hileras de dominó --con suma impar

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Una ficha de dominó tiene dos números (no necesariamente diferentes) entre 0 y 6. Las fichas se pueden voltear, es decir, $[4,5]$ es la misma ficha que $[5,4]$. Se quiere formar una hilera de fichas de dominó distintas, de manera que, en cada momento de la construcción de la hilera, la suma de todos los números de las fichas puestas hasta ese momento sea impar. Las fichas se pueden agregar de la manera usual a ambos extremos de la hilera, es decir, de manera que en cualesquiera dos fichas consecutivas aparezca el mismo número en los extremos que se juntan.

Por ejemplo, se podría hacer la hilera: $[1,3] [3,4] [4,4]$, en la que colocó primero la ficha del centro y luego la de la izquierda. Después de poner la primera ficha, la suma de todos los números es 7; después de poner la segunda, 11; después de la tercera, 19.

  • ¿Cuál es la mayor cantidad de fichas que se pueden colocar en una hilera?
  • ¿Cuántas hileras de esa longitud máxima se pueden construir?