Problemas - Geometría

Problema

Desigualdad con inradio y circunradio

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 21:32.

Justificar razonadamente que, en cualquier triángulo, el diámetro de la circunferencia inscrita no es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita.

Problema

Segmentos formados por n puntos

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 21:29.

Se tienen $n$ puntos distintos $A_1, A_2,\ldots,A_n$ en el plano y a cada punto $A_i$ se ha asignado un número real $\lambda$ distinto de cero, de manera que $\overline{A_iA_j}^2=\lambda_i+\lambda_j$, para todos los $i,j,i\neq j$
 Demuestre que
(a) $n\leq 4$
(b) Si $n = 4$, entonces $\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_4}=0$

Problema

Punto medio de la mediana

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 21:11.

 Sea $M$ el punto medio de la mediana $AD$ del triángulo $ABC$ ($D$ pertenece al lado $BC$). La recta $BM$ corta al lado $AC$ en el punto $N$. Demuestre que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $NBC$ si, y sólo si, se verifica la igualdad $$\frac{BM}{MN}=\left(\frac{BC}{BN}\right)^2$$

Problema

... y se forma un trapecio isósceles...

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 15:38.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$, respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX = XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y en $Z$, respectivamente. Demuestre que $EY = FZ$.

Problema

Perpendicular común a dos rectas en el espacio

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 15:34.

Sean $r$ y $s$ dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano. Sea $AB$ su perpendicular común, donde $A$ pertenece a $r$ y $B$ a $s$. Se considera la esfera de diámetro $AB$. Los puntos $M$, de la recta $r$ y $N$, de la recta $s$, son variables, con la condición de que $MN$ sea tangente a la esfera en un punto $T$. Determine el lugar geométrico de $T$. Nota: el plano que contiene a $B$ y $r$ es perpendicular a $s$.

Problema

Transformación de acutángulo a equilátero (en el circuncírculo de aquél)

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:16.

Se dan los puntos $A, B, C$ sobre una circunferencia $K$ de manera que el triángulo $ABC$ sea acutángulo. Sea $P$ un punto interior a $K$. Se trazan las rectas $AP, BP, CP$, que cortan de nuevo a la circunferencia en $X, Y, Z$. Determinar el punto $P$ que hace equilátero al triángulo $XYZ$.

Problema

Cuadrilátero inscriptible y circunscriptible

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:12.

Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus vértices se denotan consecutivamente por $A, B, C, D$. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en $AB$, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.

  • i) Demostrar que $AB = AD + BC$.
  • ii) Calcular, en función de $x = AB, y = CD$, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.
Problema

Cardinalidad de un conjunto finito de puntos

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 10:43.

Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en el plano. Denotemos por $m (PQ)$ la mediatriz del segmento $PQ$. Sea $S$ un subconjunto finito del plano, con más de un elemento, que satisface las siguientes propiedades:

  • a) Si $P$ y $Q$ están en $S$, entonces $m (PQ)$ intersecta a $S$.
  • b) Si $P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3$ son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de $S$, entonces no existe ningún punto de $S$ en la intersección de las tres líneas $m(P_1Q_1), m(P_2Q_2),m(P_3Q_3$).

Determine el número de puntos que puede tener $S$.

 

Problema

¿Cómo se encierra un n-polígono en un paralelogramo?

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 10:30.

 Muestre que, para cualquier polígono convexo de área uno, existe un paralelogramo de área 2 que lo contiene.

Problema

¿Cómo era el generalizado de senos?

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:31.

A partir del triángulo $T$ de vértices $A, B, C$, se construye el hexágono $H$ de vértices $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ como se muestra en la figura. Demostrar que