Problemas - Geometría

Problema

Construcción de un trapecio inscrito

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:27.

Se dan la circunferencia $\Gamma$ y los números positivos $h, m$ de modo que existe un trapecio $ABCD$, inscrito en $\Gamma$, de altura $h$ y tal que la suma de sus bases $AB$ y $CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$.

Problema

¿Sabes geometría analítica? (alternativa: Stewart)

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:22.

 En un triángulo equilátero $ABC$, cuyo lado tiene longitud 2, se inscribe la circunferencia $\Gamma$.

  • a) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices $A, B$ y $C$ es 5.
  • b) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $AP, BP$ y $CP$, y cuya área es $\sqrt{3}/4$
Problema

Construir un triángulo (dados ortocentro y dos puntos medios)

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:38.

Dados 3 puntos no alineados $M, N, P$, sabemos que $M$ y $N$ son puntos medios de dos lados de un triángulo y que $P$ es el punto de intersección de las alturas de dicho triángulo. Construir el triángulo.

Problema

Dos perpendiculares seccionan un cuadrado

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:30.

Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen cada una área igual a 1. Demostrar que el área del cuadrado es cuatro.

Problema

¿Cómo se demuestra circunferencia ortogonal?

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 19:01.

Sean $C_1$ una circunferencia, $AB$ uno de sus diámetros, $t$ su tangente en $B$, y $M$ un punto de $C_1$ distinto de $A$. Se construye una circunferencia $C_2$ tangente a $C_1$ en $M$ y a la recta $t$.

  • a) Determinar el punto $P$ de tangencia de $t$ y $C_2$ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar $M$.
  • b) Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $C_2$.

NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.

Problema

Criterio de potencia para cíclico

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 18:57.

En un triángulo $ABC$, sean $I$ el centro de la circunferencia inscrita y $D, E$ y $F$ sus puntos de tangencia con los lados $BC, AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $P$ el otro punto de intersección de la recta $AD$ con la circunferencia inscrita. Si $M$ es el punto medio de $EF$, demostrar que los cuatro puntos $P, I, M$ y $D$ pertenecen a una misma circunferencia.

Problema

Una propiedad del incentro

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 11:56.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$, es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Las bisectrices de $A$ y $B$ intersecan a $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $O$ el incentro del triángulo $ABC$. Probar que $MP\cdot OA = BC\cdot OQ$

Problema

Lados y alturas en progresión aritmética, equilátero

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:48.

Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.

Problema

Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:59.

 Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.

Problema

Una condición de isósceles

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:08.

 En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.