Problemas - Geometría

Problema

Cevianas por el circuncentro

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 13:12.

 Dado un triángulo $ABC$, considere los puntos $D, E, F$ en las rectas $BC, AC, AB$, respectivamente. Si las rectas $AD, BE, CF$ pasan todas por el centro $O$ del circuncírculo de $ABC$, cuyo radio es $r$, demostrar que
$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{r}$$

Problema

XI ONMAS!

Enviado por cuauhtemoc el 15 de Noviembre de 2011 - 18:16.

Sea ABCDEF un hexagono con todos sus lados de longitud 1 y con los angulos ABC y EFA de 90°. ¿ cuanto debe medir el angulo BCD de manera que el area del hexagono sea la mayor posible ?

Problema

11 ONMAS Guerrero

Enviado por cuauhtemoc el 12 de Noviembre de 2011 - 19:33.

ABCD es un cuadrado, el punto E esta en el lado BC. BD y AE se intersectan en el punto F. Con centro en el punto F y radio FA se traza una circunferencia que intersecta al lado CD en el punto G. Calcula el valor del angulo GFE y demuestra que el triangulo GFC  es isisceles.

Problema

Homotecia: de baricentros a puntos de Varignon

Enviado por jmd el 1 de Septiembre de 2011 - 19:00.

Las diagonales de un cuadrilátero convexo dividen a éste en cuatro triángulos. Demostrar que sus baricentros forman un paralelogramo.

Problema

Problema 2 (IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 11:23.

Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $l$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $l$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente.

Problema

Problema 6 (IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 10:21.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $l$ una tangente a $\Gamma$, y sean $l_a,l_b,l_c$ las rectas obtenidas de $l$ mediante reflexión en $BC,CA,AB$, respectivamente. Demostrar que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $l_a,l_b,l_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.

Problema

Caracterización del ortocentro

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2011 - 19:16.

Demostrar que un punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $XYZ$ es el ortocentro de éste si y sólo si 

  • $XP$ es perpendicular a $YZ$, y 
  • el reflejo de $P$ en el lado $YZ$ pertenece al circuncírculo de $XYZ$.
Problema

Suma de razones de segmentos

Enviado por jmd el 30 de Junio de 2011 - 19:41.

Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$. Los rayos $AP,BP,CP$ cortan los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$, respectivamente. Demostrar que 

$$\frac{PD}{AD}+\frac{PE}{BE}+\frac{PF}{CF}=1$$
Problema

Método de áreas (revisitado)

Enviado por jmd el 30 de Junio de 2011 - 19:34.

Sean dados dos segmentos $AB$ y $PQ$, y suponga que los segmentos o sus prolongaciones se cortan en el punto $M$. Demostrar que la razón de las áreas de los triángulos $ABP$ y $ABQ$ es igual a la razón de las distancias de $P$ a $M$ y de $Q$ a $M$.

Problema

Ejercicio clásico (con descubrimiento semiguiado)

Enviado por jmd el 30 de Junio de 2011 - 19:25.

 Sea $D$ un punto en la base $BC$ de un triángulo, y consideremos los triángulos $ABD$ y $ACD$. 

  •  Demostrar que la razón de sus áreas es igual a la razón de sus bases $BD$ y $CD$.
  •  Demostrar que si $D$ es el punto medio de $BC$ entonces sus áreas son iguales.
  •  Demostrar que si $D$ es el punto en que la bisectriz del ángulo $A$ corta a la base $BC$, entonces $AB/AC=BD/CD$ (teorema de la bisectriz).