Problemas - Geometría

Problema

Reflexión de pies de alturas (P6)

Enviado por jesus el 29 de Junio de 2011 - 18:03.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sean $Y$ y $Z$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $C$ sobre $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ la reflexión de $F$ con respecto a $E$ y $E_1$ reflexión de $E$ respecto a $F$. Si $3EF = FD+DE$ demuestra que $\angle BZF_1 = \angle CYE_1$.

Nota. La reflexión de un punto $P$ respecto a un punto $Q$ es el punto $P_1$ ubicado sobre la recta $PQ$ tal que $Q$ queda entre $P$ y $P_1$, y $PQ = QP_1$

Problema

Triángulo escaleno (P2)

Enviado por jesus el 29 de Junio de 2011 - 15:56.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno, $D$ el pie de la altura desde $A$, $E$ la intersección del lado $AC$ con la bisectriz del lado $\angle ABC$, y $F$ un punto sobre el lado $AB$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos donde se cortan las rectas $AD$ con $BE$, $BE$ con $CF$, $CF$ con $AD$, respectivamente. Si $XYZ$ es un triángulo equilátero, demuestra que uno de los triángulos $OXY$, $OYZ$, $OZX$ es un triángulo equilátero.

Problema

Homotecia en un isósceles

Enviado por jmd el 19 de Junio de 2011 - 10:33.

 Considere un triángulo $ABC$ con $AB=AC$, y sea $D$ el punto medio de $BC$. La circunferencia de diámetro $AD$ corta el lado $AB$ en $B'$ y el lado $AC$ en $C'$. El circuncírculo de $ABC$, con centro en $O,$ es tangente al lado $AB$ en $P$ y al lado $AC$ en $Q$. Si llamamos $M$ al punto medio de $PQ$, demostrar:

  • $B'M$ es paralelo a $BO$
  • $M$ es equidistante de los lados del triángulo $AB'C'$
Problema

Dos cuerdas por el punto medio de una cuerda

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 18:30.

Sea $AB$ una cuerda que no pasa por el centro del círculo y considere dos cuerdas $CD,EF$ que se cortan en el punto medio $P$ de $AB$. Demostrar que si las tangentes a la circunferencia en $C$ y $D$ se cortan en $Q$, y las tangentes en $E$ y $F$ se cortan en $R$, entonces $QR$ es paralela a $AB$.

Problema

Criterio para establecer cíclico con potencia de un punto

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 18:28.

 Si las rectas $AB,CD$ se cortan en $P$ y $PA\cdot{PB}=PC\cdot{PD}$, entonces los puntos $A,B,C,D$ pertenecen a una misma circunferencia. Demostrarlo.

Problema

Bisectriz, dos triángulos, circuncírculos, potencia...

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 18:26.

La bisectriz del ángulo $B$ del triángulo $ABC$ corta a $CA$ en $D$. El circuncírculo del triángulo $BCD$ corta el lado $AB$ en $E$, y el circuncírculo del triángulo $ABD$ corta al lado $BC$ en $F$. Demostrar que $AE=CF$.

Problema

Dos homotecias en un trapecio

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 12:52.

Las prolongaciones de los lados $AB$ y $CD$ de un trapecio se intersecan en $K$, y sus diagonales en $L$. Si $M,N$ son los puntos medios de de las bases, demostrar que los puntos $K,L,M,N$ están en una misma recta.

Problema

Paralelogramo de baricentros

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 12:51.

Las diagonales de un cuadrilátero convexo dividen a éste en cuatro triángulos. Demostrar que sus baricentros forman un paralelogramo.

Problema

Transformación geométrica de una circunferencia

Enviado por jmd el 26 de Mayo de 2011 - 18:40.

 Sean dadas dos circunferencias de radios diferentes y una afuera de la otra, y $H$ la intersección de sus tangentes exteriores comunes. Demostrar que para cualquier punto $A$ en una de las circunferencias, existe un punto $B$ en la otra de tal manera que $HA\cdot{HB}=HP\cdot{HQ}$, donde $P,Q$ son los puntos de tangencia de una de las tangentes comunes.

Problema

Transformación geométrica de una recta

Enviado por jmd el 26 de Mayo de 2011 - 18:37.

Sean dadas una circunferencia de radio $r$ y centro $O$, y una recta $l$. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $Y$ tales que $OX\cdot OY=r^2$, cuando $X$ se mueve sobre $l$.