Problemas - Geometría
2.- Revive la geo con una concurrencia
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$. Sea Ω el circuncírculo de ABC. Sea S el punto medio del arco $CB$ de Ω que contiene a A. La perpendicular por $A$ por $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a Ω de nuevo en E ≠ A. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea ω el circuncírculo del triángulo $BDL$. Las circunferencias ω y Ω se cortan de nuevo en P ≠ B. Demuestra que la recta tangente a ω en P corta a la recta BS en un punto de la bisectriz interior del ángulo <$BAC$.
P8. Hexágonos de palitos con áreas iguales
Se tienen nueve palitos de madera: tres azules de longitud $a$ cada uno, tres rojos de longitud $r$ cada uno y tres verdes de longitud $v$ cada uno, tales que es posible formar un triángulo $T$ con palitos de colores distintos.
Dana puede formar dos arreglos, comenzando con $T$ y utilizando los otros seis palitos para prolongar los lados de $T$, como se muestra en la figura. De esta manera se pueden formar dos hexágonos cuyos vértices son los extremos de dichos seis palitos. Demuestra que ambos hexágonos tienen la misma área.
P2. Matilda dibuja cuadriláteros
Matilda dibuja 12 cuadriláteros. El primer cuadrilátero que dibuja es un rectángulo de lados enteros y 7 veces más ancho que alto. Cada vez que termina de dibujar un cuadrilátero, une los puntos medios de cada pareja de lados consecutivos con segmentos de recta para así obtener el siguiente cuadrilátero. Se sabe que el último cuadrilátero que dibuja Matilda es el primero en tener área menor a 1. ¿Cuál es el área máxima posible del primer cuadrilátero?
6.- Punto ideal de semejanza
Encuentra todos los $n \geq 3$, tales que existe un polígon convexo de $n$ lados $A_1A_2 \dots A_n$, que tenga las siguientes características:
- todos los ángulos internos de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
- no todos los lados de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
- existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2 \dots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, $\dots$, $OA_{n-1}A_n$ son todos semejantes a $T$
NOTAS:
Isósceles en 2 circunferencias de mismo radio
Sean $\alpha$ y $\beta$ dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos$P$ y $Q$. Sea $X$ un punto en $\alpha$. La recta $QX$ intersecta a $\beta$ en un punto $Z$, de manera que $Z$ queda entre $X$ y $Q$. Demuestra que $PX=PZ$.
Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia
Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sean $K$ y $L$ las intersecciones del circuncírculo de $ABC$ con los lados $AD$ y $CD$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del arco $KL$ que no contiene a $B$. Demuestra que $DM$ es perpendicular a $AC$.
El 6 del estatal 2022
En una circunferencia $\Gamma$ con centro en $D$ se trazan dos tangentes $AE$ y $AF$ con $E$ y $F$ sobre $\Gamma$. Sean $B$ y $C$ puntos sobre los segmentos $AE$ y $AF$ respectivamente de tal manera que $BC$ también es tangente a $\Gamma$. Sea $J$ la intersección de $BD$ con $EF$. Demuestra que el ángulo $CJB$ es un ángulo recto.
Mesa hexagonal con mantel rectangular
Carlos tiene una mesa en forma de hexágono regular y un mantel rectangular con área 2022 que cubre un rectángulo de la mesa formado por exactamente dos lados paralelos de la mesa como bases del rectángulo. ¿Cuál es el área de la mesa?
Pon a prueba tu vista
En el trapecio ABCD de bases AB y CD, las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí. Los Segmentos AB y BD miden 20 m y 17 m respectivamente. El área del triángulo ABD es 102 m2. ¿Cuántos metros mide el lado CD?
Problema 3. 21a OMM Final Estatal
En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.
