Altura de triángulo pedal

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Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y, $AD, BE$ y $CF$ sus alturas. La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$, respectivamente. Demuestra que $Q$ es el punto medio de $PD$.




Imagen de Gustavo Chinney Herrera

Así le hice... Sea R la

Así le hice...

Sea R la interseccion de FD con MN.

Como son alturas, el ortocentro del triángulo ABC es incentro del EFD.

Digamos que <CAD = a, <DAB = b y <ABE = c, => a+b+c=90.
=> <NMD = a y <DNM = b. <AMD = 90 ya que AD es diámetro
=> <AMN = b+c. También <CFB = 90 y <CFD = a 
=> <DFM = b+c => el triángulo RFM es isósceles.
Análogamente <DRM = a, luego el triángulo RMD es icósceles
=> R es punto medio de FD.

Por otro lado <AFE = b+c porque <EFC = a => FE es paralela a MN. 

Nos fijamos en el Triángulo PFD. Como RQ pasa por el punto medio de FD, es paralela a FP y sólo hay una recta que es paralela a un lado del triángulo y que pasa por los puntos medios de los otros dos lados => Q es punto medio de PD.