Circuncírculo en circuncírculo

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 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto cualquiera sobre el segmento $BC$ ($P \neq B$ y $P \neq C$). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta al segmento $AB$ en $R$ ($R \neq A$ y $R \neq B$) y que la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta al segmento $CA$ en el punto $Q$ ($Q \neq C$ y $Q \neq A$).

  • (i) Considera el triángulo $PQR$; muestra que es semejante al triángulo $ABC$ y que su ortocentro es $O$.
  • (ii) Muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO, COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.



Imagen de Paola Ramírez

Creo que es un problema

Creo que es un problema bastante sencillo para haber sido 1 en el Nacional del 2005.Esta es mi solución:

Sabemos que $AOB$,$BOC$ y $COA$ son triangulos isosceles por estar formados por radios del circuncirculo de $ABC$.Podemos nombrar angulos: $\angle{ABO}=\angle{OAB}=\alpha$, $\angle{OBC}=\angle{BCO}=\beta$ y $\angle{OCA}=\angle{CAO}=\gamma$

Sabemos que $ROPB$ es cíclico porque todos los puntos estan sobre la circunferencia de $BOP$ $\rightarrow$ $\angle{RBO}=\angle{RPO}=\alpha$ (ya que $R$ y $A$ son colineales), lo mismo sucede para $\angle{OBP}=\angle{ORP}=\beta$

Sabemos que tambien $PCQO$ es cíclico $\rightarrow$ $\angle{QCO}=\angle{QPO}=\gamma$ y $\angle{OCP}=\angle{OQP}=\beta$ 

Ahora demostramos que $RAQO$ es cíclico, sabemos que por angulos opuestos en cíclicos $\angle{POQ}=90+\alpha$ y $\angle{ROP}=90+\gamma$,tambien que $\angle{ROP}+\angle{POQ}+\angle{ROQ}=360\therefore \angle{ROQ}=360-180-\alpha-\gamma$, que pasa si fuera cíclico sabemos que $\angle{RAQ}=\alpha+\gamma \rightarrow \angle{ROQ}=180-\alpha-\gamma$ cumpliendo con la medida real del angulo $\therefore$ $RAQO$ es cíclico.

Entonces tenemos que  $\angle{RAO}=\angle{RQO}=\alpha$ y $\angle{OAQ}=\angle{QRO}=\gamma$.

Con todo lo anterior, completamos los angulos de $\triangle{RQP}$ demostrando que por $AA$ $ABC\sim PQR$

Para demostrar el inciso b) hay dos formas: ley de senos (a mi parecer la mas ocurrible y sencilla) y la construccion de paralelogramos.

Con ley de senos observamos que:
$\frac{OP}{sin \beta}=2R$ para $\triangle{OPQ}$ de la circunferencia correspondiente.

$\frac{OP}{sin \beta}=2R$ para $\triangle{PRO}$ de la circunferencia correspondiente.
Por lo tanto $\triangle{BOP}$ y $\triangle{OPC}$  tienen circuncírculos con mismo radio.
Para demostrar que el circuncirculo de $\triangle{PQR}$ es igual al de $\triangle{BOP}$ sabemos que por razón conocida $\frac{RP}{sin \alpha+\beta}=2R$ (En el triangulo $RQP$) es igual a $\frac{RP}{sin180-\alpha-\beta}=2R$ (En el triangulo $ROP$). Por lo tanto, los circuncirculos de $BOP,POC$ y $PQR$ son iguales. $\blacksquare$

PD. Mañana subo la segunda demostracion de la que hable para el inciso b
Creo que hay problemas con LATEX en el ultimo parrafo:C

Imagen de Gustavo Chinney Herrera

Esta interesante lo que

Esta interesante lo que propones para la segunda parte.
Lo que también podías hacer para la segunda parte era fijarte que <RAO y <OBR, como son iguales y además abren el mismo arco, es una razón suficiente para decir que esas circunferencias son iguales, análogamente te fijas en el <OAC y <ACO y terminas.