Paralela si y sólo si... ¿Tales?

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Sean $B$ y $C$ dos puntos de una circunferencia, y $AB$ y $AC$ las tangentes
desde un punto $A$. Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ y $P$ la intersección de $BQ$ con la circunferencia. La paralela a $AB$ por $Q$ corta a $BC$ en $J$. Demuestre que $PJ$ es paralelo a $AC$ si y sólo si $BC^2 = AC \cdot QC$.




Imagen de jmd

 El problema se resuelve con

 El problema se resuelve con cacería de ángulos. Fácil ¿no es cierto? Pues no. Porque, la cacería de ángulos requiere saber qué ángulos quieres descubrir y para ello se requiere un plan que oriente la cacería.

Además, la sutileza de descubrir ángulos semi-inscritos es casi imposible para el novicio --es una habilidad que tiene que ser practicada. La otra sutileza del problema es el cuadrilátero cíclico $PQCJ$ que se descubre durante la cacería... (porque el criterio de cíclico no es el común de "ángulos opuestos suplementarios").

Una vez descubriendo el cíclico, la cacería puede continuar con el descubrimiento de un ángulo adicional. Pero un ángulo más es muy poca caza para un cíclico... Sin embargo, el cíclico logra una caza mayor: una cadena de condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo de $PJ$ y $QC$. 

Una dificultad adicional que puede bloquear todo el proceso de solución para un novicio es la construcción de la figura...

Los saluda