Segmentos congruentes --sobre diagonal de un cíclico

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En un cuadrilátero $ABCD$, inscrito en una circunferencia, llamemos $P$ al punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y sea $M$ el punto medio de $CD$. La circunferencia que pasa por $P$ y que es tangente a $CD$ en $M$ corta a $BD$ y $AC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. Se toma un punto $S$ sobre el segmento $BD$ de tal manera que $BS = DQ$. Por $S$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $AC$ en un punto $T$. Prueba que $AT = RC$.




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En la descripcion del

En la descripcion del problema faltaria decir que la circunferencia que pasa por P es tangente a CD en M.

Supongamos que $1) AT = RC$. y que la circunferencia  que pasa por $P$ es tangente a $CD$ en un punto $H$

Como $TS$ es paralela a $AB$ se tendra que el cuadrilatero $ABCD$ es cilico, de esto y por tales, tendremos que $\frac{AT}{BS} = \frac{DP}{CP}$. Sustituyendo por la igualdad en 1) y por dato, tenemos que $\frac{RC}{DQ} =\frac{DP}{CP}$y luego $RC \cdot CP = DQ \cdot DP$ pero por potencia el primer lado de la igualdad es $CH^2$ y el segundo sera $DH^2$ entonces, $AT = CR$ si y solo si $CH^2 = DH^2$ si y solo si $CH = DH$  si y solo si $H=M.$

Saludos

Germán.

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Tienes toda la razón German,

Tienes toda la razón German, faltó esa redacción en el problema. Y tu lo has demostrado que ese dato es el que necesitas.

Aunque para mi parecer, has demostrado que $AT = CR \Longrightarrow H=M$, pero en el reverso me quedaron mis dudas. Mi duda fue en la parte $CH^2 = DH^2 \Longrightarrow AT=CR$; creo que faltaron detalles.

Sería algo así, suponiendo HM llegamos a que $CH^2 = DH^2$ lo que implica que $RC \cdot CP = DQ \cdot DP$  ... ¿Y de aquí como siguerías?

Saludos
Jesús

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Bueno, al principio se

Bueno, al principio se demostraba que $\frac{AT}{BS}= \frac{DP}{PC}.$

Continuando, intercambiamos $DQ$ por $BS$ ya que por dato son iguales, y queda $RC \cdot CP = BS \cdot DP$ lo que implica que $\frac{RC}{BS}=\frac{DP}{PC}$ combinando esto con la igualdad del principio se vuelve a lo deseado.

Saludos                                                                                                                          

Germán.

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¡Perfecto German! Ya cambié

¡Perfecto German!

Ya cambié la redacción del problema.

Saludos