Problemas - Teoría de números

Problema

Múltiplos de 9 con restricciones

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:37.

¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?

Problema

Problema 5 Estatal 2022

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:21.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:

(3)(2x) + 4 = n2

Problema

El 3 del estatal 2022

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 17:15.

Encuentra todos los valores para de tal forma que la expresión 

6n+1

sea un número con todos sus dígitos iguales.
 

Problema

El número de Belmaris

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2022 - 16:50.

André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?

Problema

Práctica de módulos

Enviado por vmp el 25 de Julio de 2022 - 08:40.
Prueba que no existe entero $n$ tal que la suma de los dígitos de $n^2$ es $2022$
Problema

Problema técnico de primos

Enviado por Samuel Elias el 11 de Julio de 2022 - 15:27.

Encuentra la suma de los números primos que dividen a todos los números de 3 dígitos con todos ellos iguales.

Problema

Piezas rectangulares con área 240

Enviado por Samuel Elias el 10 de Julio de 2022 - 20:02.

Se van a construir piezas rectangulares de área 240 cmy con ambos lados entero. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?

Problema

Subconjuntos con promedio entero

Enviado por German Puga el 30 de Diciembre de 2021 - 20:59.
Un conjunto de $n$ números enteros positivos distintos es $\textit{equilibrado}$, si el promedio de cualesquiera $k$ números del conjunto es un número entero, para toda $1 \leq k \leq n$. Encuentra la mayor suma que pueden tener los elementos de un conjunto equilibrado, con todos sus elementos menores o iguales que 2017.
Problema

Números digitales (OMM 2021 P5)

Enviado por jesus el 17 de Diciembre de 2021 - 23:35.

Para cada entero $n>0$ con expansión decimal $\overline{a_1a_2 \dots a_k}$ definimos $s(n)$ como sigue:

  • Si k es par, $s(n) = \overline{a_1a_2} + \overline{a_3a_4} + \dots +\overline{a_{k-1}a_k} $
  • Si k es impar, $s(n) = a_1 + \overline{a_2a_3} + \overline{a_4a_5} + \dots +\overline{a_{k-1}a_k} $

Por ejemplo, si $n=123$ entonces $s(n) = 1 + 23 = 24$ y si $n=2021$ entonces $s(n) = 20+21 = 41$.

Decimos que este $n$ es digital si $n$ es múltiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera 198 enteros positivos consecutivos, todos ellos menores que 2000021, hay uno de ellos que es digital.

Problema

Criterio del 99 (P5 OMM 2021)

Enviado por German Puga el 7 de Diciembre de 2021 - 20:24.
Para cada entero positivo $n>0$ con expansión decimal $\over{a_1a_2\dots a_k}$ definimos $s(n)$ como sigue. Si $k$ es par, $s(n)= \overline{a_1a_2} + \overline{a_3a_4}+\cdots+ \overline{a_{k-1}a_k}$. Si $k$ es impar, $s(n)=a_1+ \overline{a_2a_3} +\cdots+ \overline{a_{k-1}a_k}$. Por ejemplo si $n=123$ entonces $s(n)=1+23=24$ y si $n=2021$ entonces $s(n)=20+21=41$. Decimos que $n$ es dígital si $n$ es múltiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera 198 enteros positivos consecutivos , todos ellos menores que 2000021, hay uno de ellos que es dígital.