Problemas - Teoría de números

Problema

El capicúa más cercano

Enviado por German Puga el 3 de Junio de 2016 - 17:16.

Una sucesión de números mayores que 0 comienza  con cualquier número y el siguiente será la resta entre el número anterior  y el número capicúa más cercano que sea menor o igual al número. Por ejemplo $$ 2016 \rightarrow 14 \rightarrow 3 \rightarrow 0$$ Se observa que 14=2016 - 2002 ;  3 = 14 - 11 y  0 = 3 - 3. La sucesión termina cuando se llega a cero, en el ejemplo la sucesión tuvo cuatro términos ¿Cuál es el número más pequeño con el que puede iniciar la sucesión para que tenga exactamente 5 términos?

Problema

¿Cuántos soluciones serán?

Enviado por Paola Ramírez el 7 de Mayo de 2016 - 01:29.

Encuentra todos los enteros no negativos $a$ y $b$ que satisfacen la ecuación $3\cdot 2^a+1=b^2.$

Problema

Ni primo ni cuadrado

Enviado por German Puga el 28 de Abril de 2016 - 21:34.

Muestra que el número $5n+3$ no es un cuadrado perfecto, con n entero positivo y que si $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados, entonces $5n+3$ no es primo.

Problema

Expresado como producto de tres

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 19:56.

Sea $p_1 , p_2 , p_3 \dots$   la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Si $n \geq 2$, demuestra que $p_n + p_{n+1}$ se puede expresar como el producto de al menos tres enteros mayores que 1 (no necesariamente distintos). 

Problema

La magia de los números primos

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 18:50.

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.

Problema

Muchos 1's

Enviado por German Puga el 27 de Abril de 2016 - 18:46.

Muestra que para todo entero positivo n, primo relativo con 10 existen infinidad de múltiplos de n cuyos dígitos son solo unos. 

Problema

Problema de Teoría de Números

Enviado por Alexander Israe... el 26 de Enero de 2016 - 11:26.
Resolver la ecuación $x^{3}=3^{y}7^{z}+8$ para enteros positivos $x, y, z$.
Problema

Problema 4. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 12:47.
Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María detetermina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$.
 
Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.
Problema

Problema 2(N)

Enviado por Roberto Alain R... el 29 de Agosto de 2015 - 19:25.

Para un entero positivo n denotamos con S(n) la suma de los dígitos y con U(n) el dígito de las unidades. Determinar todos los enteros positivos n con la propiedad de que n=S(n)+U(n)2  (Nota: Para n=324, S(n)=9 y U(n)=4.)

Problema

Elemental de números --pero no trivial

Enviado por jmd el 20 de Junio de 2015 - 12:50.

Hay siete cajas numeradas del 1 al 7 y alineadas. Tú tienes 2015 tarjetas que colocas en las cajas de una por una. La primera tarjeta la colocas en la primera caja, la segunda en la segunda, hasta llegar a la séptima carta la cual colocas en la caja 7. En ese momento empiezas a colocar las tarjetas en la otra dirección colocando la carta 8 en la caja 6, la 9 en la 5, hasta llegar a la carta 13 que colocas en la caja 1. La tarjeta 14 la colocas entonces en la caja 2, y continuas así hasta que cada tarjeta haya sido distribuida. ¿En cuál caja se coloca la última tarjeta? (Justifica tu respuesta.)