Expresiones equiresiduales (módulo 19)

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Si $a$ y $b$ son enteros positivos, pruebe que 19 divide a $11a+2b$ si y sólo si 19 divide a $18a+5b$
 

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Divisibilidad
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Números Enteros



Imagen de pedro1234

si 19/11a+2b, entonces

si 19/11a+2b, entonces [11a+2b cong a o mod 19], la otra ecuacion queda [18a+5b cong a o mod 19],  que es igual a [-1a+5b cong a 0 mod 19], entonces [5b congruente a  a mod 19]. si de la primera ecuacion de congruencias sale la segunda y viceversa, el problema habra terminado. de la primera se tiene [2b cong a 8a mod 19], se multiplica por 5 y queda,  [10b cong a 40a cong a 2a mod 19].  pero como  10=2*5, entonces queda. [2*5b cong a 2a mod 19], como [2 cong a 2 mod 19], entonces [5b tiene que ser congruente a a mod 19.] y [18a+5b cong a 0 mod 19]

de reversa queda dela segunda ecuacion [5b congruente a  a mod 19] entonces al multiplicar por 2 se obtiene [10b cong a 2a mod 19], que es lo mismo a  [10b cong a 40a mod 19] ya que [5 cong a 5 mod 19], [2b tiene que ser cong a 8a mod 19] que es lo mismo a que [2b cong a 8a mod 19] entonces [-8a+2b cong a 0 mod 10], entonces [11a+2b cong a o mod 19]

Imagen de jesus

Hola Jorge, casi está

Hola Jorge, casi está correcta tu demostración. Lo único que no me gusta son estas dos afirmaciones:

  1. [2*5b cong a 2a mod 19], como [2 cong a 2 mod 19], entonces [5b tiene que ser congruente a a mod 19.]
  2. [10b cong a 40a mod 19] ya que [5 cong a 5 mod 19], [2b tiene que ser cong a 8a mod 19]

En ellas estás usando la siguiente afirmación:

$$ac \equiv bc \pmod{m} \quad \Rightarrow \quad  a \equiv  b \pmod{m}$$

Pero esa afirmación es FALSA. Mira el siguiente ejemplo:

$$ 9 \times 2 \equiv 4 \times 2 \pmod{10} $$

Imagen de jesus

Me faltaba decirte, no sé si

Me faltaba decirte, no sé si viste el otro mensaje, pero te lo repito por si no fué así. Para usar latex en los comentarios te recomiendo leer el  acordeón de latex. Luego es muy complicado leer la notación [a cong a b mod c], es más conocida la notación $a \equiv b \pmod{c}$

Imagen de coquitao

Si entonces también divide

Si $19 | (11a+2b)$ entonces $19$ también divide a

$(-7)(11a+2b)+19(5a+b) = (95-77)a+(19-14)b = 18a+5b.$

Por otra parte, si $19|(18a+5b)$ entonces $19$ divide a

$(-11)(18a+5b)+(19)(11a+3b)=11a+2b$

y la prueba termina. QED.

 

 

 

Imagen de jmd

Simple y directo. Para el

Simple y directo.

Para el novicio: si un número $ n $ divide a una expresión $f(a,b)$ entonces también divide a una combinación lineal entera $kn+mf(a,b)$ --y ya sólo es cosa de buscar los multiplicadores $k,m$ adecuados de manera que esa combinación sea la otra expresión $g(a,b)$...

Los saluda