Los parientes de un número son sus múltiplos

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Sea $ab$ un número de dos dígitos. Un entero positivo $ n $ es “pariente” de $ab$ si:

  • El dígito de las unidades de $n$ también es $b$.
  • Los otros dígitos de $n$ son distintos de cero y suman $a$.

Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes .




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Primero demostremos el

Primero demostremos el siguiente resultado:

(1) Si $a\equiv k\pmod{b}$ se tendra que por algoritmo de la division $bq + k = a$ entonces   $a-1\equiv q + k -1\pmod{b-1}$ Demostracion: se tiene que            $bq + k -1 = a-1$ luego $q(b-1) + q = bq$ entonces $b(q-1) + q + k -1= a-1$ de donde el resultado es claro.

Todos lo numeros del 10 - 19 dividen a todos sus parientes (pues su unico pariente es si mismo.)

Ahora veamos la aplicacion del resultado en (1),  por ejemplo veamos los numeros del 20 - 29. En particular   29   es pariente con   119    entonces tendremos  

$$4(30-1) = 116$$ por lo que                                                                                

(41)$$119\equiv3\pmod{29}$$ de alli a que  $q=4 , k = 3$ entonces por (1) se tendra que $118\equiv4 + 3 -1\pmod{28}$ y de alli se sigue los resultados:

$119\equiv3\pmod{29} , 118\equiv6\pmod{28} , 117\equiv9\pmod{27},\cdots,  110\equiv30\pmod{20}$

De alli se vuelve sencillo, solo hay que hacer unas cuantas sumas, para los de treinta, se tiene a 129 como pariente de 39 es decir 3(40-1)=117 por lo que $129\equiv12\pmod{39}$, se hace los mismo que en (41) y pues se nota que los residuos van de 2 en 2 (dado que $q=3$ y se le resta uno), entonces no va a alcanzar los residuos a los modulos hasta que $120\equiv30\pmod{30}$ por criterio de divisibilidad el $30$ siempre dividira a sus parientes, y se sigue.

$139\equiv41\pmod{49}$ (va de uno en uno) $138\equiv42\pmod{48},\cdots,135\equiv45\pmod{45},\cdots,130\equiv50\pmod{40}$ se aprecia que el $45$ por divisibilidad de 9 y 5 siempre dividira a sus parientes.

$239\equiv3\pmod{59}$ (de tres en tres) y no alcanza.

$159\equiv21\pmod{69}$ (de uno en uno) y no alcanza.

$169\equiv11\pmod{79}$ ( de uno en uno) y no alcanza.

$359\equiv3\pmod{89}$ ( de tres en tres) y no alcanza.

$189\equiv90\pmod{99}$ no cambia y es apreciable el $90$ que por divisibilidad divide a todos sus parientes.

En conclucion los unicos numeros que siempre dividen a sus parientes son el $30,45  y  90$.

Agradeceria que me corrigeran,

Saludos,

Germán.

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No entiendo cómo usas el

No entiendo cómo usas el resultado demostrado al principio. ¿Podrías ser más explícito? 

Te saluda

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Tenemos que, sean $a,b$

Tenemos que, sean $a,b$ enteros positivos con $a\geq b$ y sea $k$ el residuo de $a$ en su division entre $b$.Tendremos que $bq + k = a$ para algun entero $q$. En congruencias: $a\equiv k\pmod{b}$ entonces tambien es cierto que  $a-1\equiv q+k-1$.

Ahora hay que notar lo siguiente, por ejemplo $59$ como pariente de $239$ y $59-1$ pariente de $239-1$ en particular $239-x$ es pariente con $59-x$. De aqui tenemos que $239\equiv3\pmod{59}$ ahora segun el ejemplo $a=239$ $b=59$ $k=3$ y $q=4$ ya que $59(4) + 3 = 239$. Luego sabemos que $a-1\equiv q + k - 1\pmod{b-1}$ sustituyendo:  $239-1\equiv4 + 3 -1\pmod{59-1}$ lo que es igual a $238\equiv6\pmod{58}$. Bueno asi funciona, pero toma su eficiencia al notar como van cambiando los residuos y que estos ultimos no van a ser divisibles entre el modulo(excepto en casos especiales).

Saludos,

Germán.