Múltiplos de 3 y 7 con dígitos 3 o 7

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Encuentra todos los números de 7 dígitos que son múltiplos de 3 y de 7,
y cada uno de cuyos dígitos es 3 o 7.




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Por criterio de divisibilidad

Por criterio de divisibilidad del 3 se tiene que no va importar muchos cuantos 3's hay sino cuantos 7. De donde, habra    3   o   6     7's  de esta manera se hace divisible entre tres.

ahora tenemos que hacer que sea divisible entre 7,  luego:

\$(10 ^ 2) 3    \equiv  6$

\$(10 ^ 3)3    \equiv   4$

\$(10 ^ 4  ) 3  \equiv  5 $

\$(10 ^ 5)3      \equiv 1$

\$(10 ^ 6   ) 3   \equiv   3$

todos (mod 7)
 

entonces debe haber  (1) seis  7's y un 3   ó    (2)  tres 7's   y   cuatro 3's 

el caso (1) se descarta porque no hay un numero de la serie 1, 2,3,4,5,6. que sea multiplo de 7. Para el caso (2) tenemos:

o suman 7 o suman 1

de alli a que tampoco pueden sumar 7 solo 14.

por ejemplo esta terna:   Sea r = 1 el exponte de 10. si queremos que sumen catorce una de las terna puede ser   r + 1 ,  r + 2 , r + 4,  r + 5. lo escribimos como:

3373377 el cual si es divisible entre tres y siete. de la misma forma encontramos las siguientes ternas y luego tenemos que los iguientes numeros lo cumplen (incluyendo al ya escrito) :

3373377,

7373373,

7337337,

3777333,

3733737,

7733733.

agradeceria mucho que me corrigan.

pd.  \ $\ equiv$ es congruente a..  (no me sale en latex:c)

 

saludos desde reynosa:)!

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Hola German, no he revisado

Hola German, no he revisado tu solución. Pero solo te comento que el código LaTeX es sin diagonal (\) debe estar únicamente entre símbolo de pesos ($).

El acordeón de LaTeX debe tener un errro, voy a corregirlo. Saludos.

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Por otro lado German, me

Por otro lado German, me parece muy bien tu solución. Yo también llego a las mismas soluciones, únicamente que no logro ver, es cómo le hiciste para ordenarte y estar seguro de que desechaste todas las posibilidades. Hablo de la parte en la que buscas cuatro residuos $r_1, r_2, r_3$ y $r_4$ tales que $r_i+r_3+r_3+r_4 = 14$. ¿Cómo le hiciste para encontarlos todos?

En el siguiente comentario haces una explicación que tiene una tendencia general, sin embago está particularizada para $r=1$, ¿Es general o no?¿Qué tan general es? es decir, ¿Se vale para todo $r$ o hay alguna limitante?

Sea r = 1 el exponte de 10. si queremos que sumen catorce una de las terna puede ser   r + 1 ,  r + 2 , r + 4,  r + 5.

Saludos
Jesús

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Bueno en la parte en la que

Bueno en la parte en la que busco los cuatro residuos tal que $r_1$ + $r_2$ + $r_3$ + $r_4$ = $14$  pues no hay nada que un conteo bien organizado (aunque algo talachudo)    no     resuelva,  comienzo  con    los    residuos                   6 + 5 + 2 + 1 , despues 6 + 4 + 3 +1.... y asi hasta llegar a la ultima terna       5 + 4 + 2 + 3, de alli a que ninguna menor a esta terna pueda cumplir, sumar catorce. (ademas de que todas las ternas que usen un tres puedan hacerse dos numeros ya que se pone el tres en la unidades y en la ultima cifra). 

En el comentario donde digo '' sea r= 1 el exponente de 10....'' no queria expresar mucho con eso, solo que habia que buscar las terna que lo cumplian, revisar en cuales $10^r_i$ estaban esos residuos y expresarlo, pero si al final me parece que resulta confusa e innecesaria esa parte.

 

pd. ayuda con  ¿algunos lemas que sean de utilidad en la olimpiada?  Se los agradeceria bastante:)

 

Saludos

Germán

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Bueno, aquí hay algunos temas

Bueno, aquí hay algunos temas relacionados con tu solución. Una de ellas el residuo de las potencias $10^n$ módulo $7$. Como puedes observar, la potencia $10^6 \equiv 1 \pmod{7}$. Esto es un caso particular del pequeño teorema de Fermat, el cuál dice que $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ para todo primo $p$ y $a$ primo relativo con $p$. Y hay un teorema aún más general, llamado el teorema de Euler.

Pero tu usaste algo más que eso, usaste que todos los residuos $10^n$ módulo $7$ son todos distintos para $n=0, \dots, 5$. Como consecuencia de que $7$ no divide $10^n$, entonces tampoco dividirá a los residuos 5 residuos de $10^n$, por todos los resiudos de $6$ son posibles excepto el cero (en total también son 6). Entonces, los residuos $10^n$ para $n=0, \dots 5$ son una permutación de los residuos $1, 2, \dots, 6$.  Esto ocurre, gracias a que $10$ es una raíz primitiva de $7$.

Bueno, estos son teorías que generalizan las obsevaciones que hiciste aquí, pero que como quiera no te hacen la vida más fácil en el problema, sin embargo, sí te ayudan a ver más allá. Por ejemplo, es una coincidencia que 10 sea raíz primitiva de 7, de lo contrario, los residuos de $10^n$ serían muchos menos. Por ejemplo, sólo hay tres residuos distintos de las potencias de 9 módulo 7.

Espero haber respondido en la dirección que esperabas.


Saludos,

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Por otro lado y regresando al

Por otro lado y regresando al problema. El único atajo que encuentro para evitar reducir el análisis de casos es el siguiente.

Como búscas $\{r_1, r_2,r_3,r_4\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$  tales que $r_1+r_2+r_3+r_4$ sea múltiplo de 7 se puede reducir a buscar sólo dos número $\{r_5, r_6\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ que su suma sea múltiplo de 7. Esto debido a que si $\{r_1, r_2,r_3,r_4,r_5,r_6\}$ es una permutación de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ tendrémos que $r_1+r_2\cdots + r_6 = 1+2+\cdots +6 = 21$ que es múltiplo de 7.

Esto es una buena reducción, ya que $\{r_5,r_6\}$ sólo puede ser $\{1,6\}, \{2,5\}$ y $\{3,4\}$.  Dando como consecuencia que las tres posibilidad para $\{r_1, r_2, r_3, r_4\}$ son las que tu encontraste.

Saludos

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Me parece una reduccion muy

Me parece una reduccion muy buena.

En cuanto al tema de los lemas, tambien fueron de ayuda,

de cualquier modo quiero seguir estudiando, y que si encuentran 

algo que crean que me sea de ayuda, no duden en mandarmelo se los

agradeceria mucho. 

Mi correo chivafan_naruto512@hotmail.com ó germanpuga2013@gmail

saludos

Germán.

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Hola Germán: Está medio

Hola Germán:

Está medio enredosa tu solución pero así y todo aplicaste una idea muy original. Te felicito por tu empeño y dedicación y por esa solución de un problema ¡del concurso nacional! (Y también te felicito por no tener miedo a compartir tus soluciones, por no tener miedo a cometer errores y a que éstos se publiquen.)

Ya vi que quedaste en la preselección 2012 y me imagino que vas a repetir. Yo te voy a recomendar que sigas resolviendo los fáciles del concurso nacional (los unos) y pues que pongas tus soluciones aquí en MaTeTaM para discutirlas. 

Este fin de semana voy a postear sobre ese problema que resolviste, el cual --a pesar de ser el fácil del 2001-- tiene su grado de dificultad...

PD: en tu solución dices que no hay sumas que den 7, pero yo encuentro que 1+1+2+3=7. (Lo que da lugar al número 3777333.) ¿Cómo explicas eso?

Te saluda

 

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Hola Profesor Muñoz: Si, esta

Hola Profesor Muñoz:

Si, esta un poco enredada, estoy tratando de mejorar la redaccion de las soluciones.  Seguire tratando de resolver problemas y subirlos a  MaTeTaM, mas que nada seguire estudiando Teoria de Numeros que es en lo que me siento mas debil.

En cuanto a la postdata, si suman siete pero  esa terna no esta dentro del conjunto (1,2,3,3,4,5,6) ya que el uno esta repitiendo, el numero 3777333 se forma con los residuos de  $10^0x$  ,  $10x$ ,  $10^2x$  y  $10^6x$   con x=3  y todos modulo 7.

saludos

Germán.

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OK gracias por su comentario

OK gracias por su comentario entonces quedaria asi:
 

$10x \equiv 2$  

$10^2x \equiv 6$  

$10^3x \equiv 4$  

$10^4x \equiv 5$

$10^5x \equiv 1$  

 $10^6x \equiv 3$    

todos (mod 7) y con    x=3

saludos.

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Un problema que tenemos en

Un problema que tenemos en general con el LaTeX, es que si lo copias y lo pegas de otro lado podría llegar con fomato. Por ejemplo, así se ve tu código en realidad:

$10x<span style="line-height: 1.5;">\equiv2$ &nbsp; 
</span></p>
<p><span style="line-height: 1.5;">$10^2x</span>
<span style="line-height: 1.5;">\equiv6$ &nbsp; </span></p>
<p><span style="line-height: 1.5;">$10^3x</span>
<span style="line-height: 1.5;">\equiv4$ &nbsp;</span></p>
<p><span style="line-height: 1.5;">$10^4x</span>
<span style="line-height: 1.5;">\equiv5$ </span></p>
<p><span style="line-height: 1.5;">$10^5x</span>
<span style="line-height: 1.5;">\equiv1$ &nbsp; </span></p>
<p><span style="line-height: 1.5;">&nbsp;$10^6x</span>
<span style="line-height: 1.5;">\equiv3$ &nbsp; &nbsp;</span></p>

Todas esas etiquetas de HTML son el formato con el que se copio tu código, esa basura hace imposible que el scritp pueda compilarlo.

Si quieres que se copie sin formato, escríbe el código en un block de notas (o cualquier editor de texto plano; sin formato) y después copia y pega tu código a MaTeTaM.

En el acordeón de latex puedes ver del lado derecho un compilador de LaTeX, que te ayudará a hacer pruebas con tu código antes de publicarlo en el sitio. Evitando así, tener que editar reiteradamente tu comentario.

Saludos

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Ok seguire intentandolo, lo

Ok seguire intentandolo, lo que pasa es que al cipoarlo y pegarlo en el compilador de latex si funciona pero al momento de pasarlo al comentario ya no, lo que me hace tener que estar revisando el comentario y tener que editarlo varias veces. de cualquier manera gracias, 

$ 10^2x\equiv6$ creo que ya salio....