Problema clásico de cocientes de polinomios de la OMM

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Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $$\frac{n^2 + n -1}{n^2 + 2n}$$ es una fracción irreducible (simplificada).




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el problema se hace mediante

el problema se hace mediante contradiccion. si la fraccion fuera reducible, entonces existe d mayor a 1 tal que d/n2  +n -1 y d/n2+2n.d no puede dividir a 1, ya que entonces d/-1 y d/1, pero solo 1/1. Entonces al factorizar n2+2n queda n(n+2), entonces d/n+2, pero al restar (n2+2n)- (n2  +n -1) queda que d/n+1, pero como n+1 y n+2 son consecutivos, entonces son primos consecutivos y d tiene que ser 1, por lo que no existe d mayor a 1 que cumpla las condiciones y la fracción es irreducible.

 

Imagen de jesus

Hola pedro, entiendo la

Hola pedro, entiendo la primera parte: Si $d$ divide a 1 entonces $d$ debe ser uno, lo cuál contradice la el hecho de que $d$ era mayor a uno. Y entiendo también tu demostración de que $d$ debe dividir a $n+1$.

Lo único que no entiendo, es por qué $d$ debe dividir a $n+2$. Tu pusiste esto:

Entonces al factorizar n2+2n queda n(n+2), entonces d/n+2

¿Podrías agregar más detalles?

Imagen de pedro1234

donde dice: d no

donde dice: d no puede dividir a 1, deberia de decir d no puede dividir a n, ya que si d divide a n(cuadrada)+n-1, entonces d divide a -1, y d divide a 1.

si d divide a n(n+2), y d no divide a n, entonces d divide a n+2

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Ahhh!!!, ya entiendo. Si

Ahhh!!!, ya entiendo. Si $d$ divide a $n$ entonces $d$ debe ser 1.

Pero...,sobre esta afirmación:

si d divide a n(n+2), y d no divide a n, entonces d divide a n+2

No me cuadra con $d=8$ y  $n=10$.

Imagen de pedro1234

lo que pasa es que si d tiene

lo que pasa es que si d tiene que ser uno, entonces d y n son coprimos, cuando d=8 y n=10, 8 y 10 no son coprimos

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Perdona tanta pregunta, pero

Perdona tanta pregunta, pero quiero entender bien tu prueba. ¿Por qué dices que $d$ y $n$ son coprimos? Me imagino que lo explicas en esta frase:

lo que pasa es que si d tiene que ser uno,...

Pero, por más que le búsco, no le hallo. ¿Podrías explicar más?

Imagen de pedro1234

algo importante que me falto

algo importante que me falto decir es que la fraccion es reducible si existe algun primo d mayor a 1. entonces si d no divide a n y d/n(n+2). entonces n(n+2) congruente a o modulo d, pero al ser d primo uno de los dos terminos debe de ser o modulo d, ya que d no divide a n, entonces n+2 tiene que ser congruente a o modulo d. 

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Ahhhhhhhhh!!!  Ahora todo me

Ahhhhhhhhh!!!  Ahora todo me hace completo sentido. Si se considera a $d$ como un divisor PRIMO, entonces ya es evidente que:

Que $d$ no divida a $n$ es equivalente a que $d$ y $n$ sean coprimos .

Y ya todo el argumento queda completo.

Imagen de el colado

El problema se traduce a

El problema se traduce a encontrar k: si k=1, entonces habremos terminado.

 MCD(n²+n-1,n²+2n)=k

Sabemos que n²+n-1 y n²+2n son ambos positivos, por lo que k tambien es positiva.

Luego, n²+n-1­=n²+2n mod k, de ahí que n=1 mod k, entonces k|n-1. De aquí podemos determinar que k no divide a n, puesto que n-1 y n son primos relativos (por ser numeros consecutivos).

Tambien tenemos que k|n(n+2), como k no divide a n, entonces k|n+2,

asi, n+2=n-1 mod k, entonces 3=0 mod k, de aqui que k|3,  entonces, k=1 o k=3 (porque k es positiva)

Veamos ambos casos:

Llamemos R=n² +n -1

sabemos que R =0 mod k, veamos el caso para k=3:

si n=0mod 3: R = -1mod 3, si n=1 mod 3: R=1 mod 3, si n=2 mod 3: R=-1 mod 3. En ninguno de los casos anteriores se cumple la condicion de que R=0 mod 3, entonces k distinto de 3.

La prueba de que R=0mod 1 es trivial. Por lo tanto k=1 ■

Imagen de jesus

Sobre tu prueba,

Sobre tu prueba, dijiste:

Tambien tenemos que k|n(n+2), como k no divide a n, entonces k|n+2,

En la prueba de Jorge también existía esta afirmación, pero ya la corrigió, lee mi comentario al respecto, y dime qué opinas.

Imagen de el colado

Tienes razón, lo correcto era

Tienes razón, lo correcto era afirmar:

Como n-1 contiene a todos los divisores de k, y (n,n-1)=1, entonces, (k,n)=1.

La demostración es inmediata: n no tiene ningún factor de n-1, por lo tanto, tampoco de k, entonces k y n-1 son primos relativos. ■

 

Lo siento, espero y ahora si este completa la demostracion.

Saludos.

Imagen de jesus

Muy bien Daniel, con ese

Muy bien Daniel, con ese cambio ya queda completa tu solución. Interesante solución. Ya puse la mía, para que la comparen tanto tu como Jorge, a ver qué les parece.

Saludos

Imagen de iwakura_isa

Ya habia visto una solucion

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Ya habia visto una solucion mas simple que va mas o menos asi:

Supongamos que la fraccion es reducible, entonces existe un primo $p$ que divide a tanto al numerador como al denominador, entonces tenemos que $$n^2+n-1\equiv n^2+2n \equiv 0 \pmod{p}$$

De lo cual se puede deducir que  $$n \equiv -1 \pmod{p}$$

Pero $$n^2+2n \equiv 0 \pmod{p}$$

Entonces sustituyendo tenemos que $$-1\equiv0 \pmod{p}$$ lo cual es un absurdo.

Imagen de jesus

Hola Josué, está muy bien tu

Hola Josué, está muy bien tu solución. Es muy parecidad a la de Daniel (alias el colado). Con eso me di cuenta de un error de Daniel, pues el pone:

Luego, n²+n-1­=n²+2n mod k, de ahí que n=1 mod k, entonces k|n-1.

 En realiadad debía de llegar a que: $n \equiv -1 \pmod{k}$, como tu lo hiciste.

Pero también, comparando ambas soluciones se puede observar que Daniel llegó a que $$3 \equiv 0 \pmod{k}$$ y tu llegaste a que $$1 \equiv 0 \pmod{p}.$$

¿Quién está en lo correcto?

Saludos
Jesús

 

Imagen de jesus

Ya me di cuenta que es

Ya me di cuenta que es batante obvia la pregunta que hice, tu congruencia es la correcta.

Bueno, muy buena solución, muchas gracias por compartirla.

Imagen de el colado

De hecho, el error es mio,

3

De hecho, el error es mio, puesto que llegar a que $k|3$ es debido al signo que por ahí se me coló. Enseguida envío la respuesta ya corregida.

El problema se traduce a encontrar $k$: si $k=1$, entonces habremos terminado.

$ MCD(n²+n-1,n²+2n)=k$

Sabemos que $n^2 +n-1$ y $n^2 +2n$ son ambos positivos, por lo que $k$ tambien es positiva.

Luego, $n^2 + n-1 \equiv n^2 +2n \pmod{k}$, de ahí que $n \equiv -1 \pmod{k}$, entonces $k|n+1$. Como $(n+1,n)=1$ y $k|n+1$, entonces $(k,n)=1$.

Tambien tenemos que $k|n(n+2)$, como $(k,n)=1$, entonces $k|n+2$, ahora, como $k|n+1$ y también $k|n+2$ entonces concluímos que $k=1$ por ser $n+1$ y $n+2$ números consecutivos.■

 

Una disculpa y un saludo.

Imagen de el colado

otra forma de terminar, es

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otra forma de terminar, es diciendo $1 \equiv 0 \pmod{k}$ porque $n+2 \equiv n+1 \pmod{k}$, de ahi que $k|1$ por lo tanto, $k=1$. Esto es ya mas parecido a lo de Isaí.

Saludos.