Producto de enteros menores que 100 y con tres divisores

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Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.




Imagen de el colado

Tomemos en cuenta la fórmula

Tomemos en cuenta la fórmula para determinar el número de divisores de un número entero:

sean a1,a2, a3,...., ak, los exponentes que resultan de la descomposición en primos de n. Entonces, la cantidad de divisores de tal número n, estará dada por: (a1+1)(a2+1)...(ak+1).

Entonces... tenemos que todo numero de tres divisores deberá ser de la forma p², con p primo, ya que la cantidad de divisores positivos de p² estan dados por (2+1)=3.

entonces buscamos todos los numeros p² menores a 100...

entonces.. 100>p², luego, 10>p... por lo tanto, sólo buscamos los numeros que son el cuadrado de los números primos: 2, 3, 5 y 7, que son: 4, 9, 25 y 49, respectivamente. Entonces, multiplicamos: 4x9x25x49=(2x3x5x7)²=210²,con esto tenemos que el resultado, tambien es un número cuadrado, como queriamos demostrar. ■

 

Saludos.